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第Ⅰ卷（共60分）
一、 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．
【答案】D
【解析】，故选D.
2．复数是虚数单位）的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力．
【答案】A
【解析】，所以虚部为-1，故选A.
3．圆（）与双曲线的渐近线相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．
【答案】C
4．以下四个命题中，真命题的是（ ）
A．，
B．“对任意的，”的否定是“存在，
C．，函数都不是偶函数
D．中，“”是“”的充要条件
【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
【答案】D
5．二项式的展开式中项的系数为10，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．
【答案】B
【解析】因为的展开式中项系数是，所以，解得，故选A．
6．执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的属于（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用．
【答案】B
7．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．
【答案】C
【解析】还原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长，宽的矩形，高为3，且平面，如图所示，所以此四棱锥表面积为 ，故选C．
8．已知函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力．
【答案】D
9．已知实数，，则点落在区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查基本运算能力．
【答案】D
【解析】画出可行域，如图所示，四边形的面积为，由几何概型的概率公式，得所求概率为,故选D．
10．椭圆的左右顶点分别为，点是上异于的任意一点，且直线斜率的
取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．
【答案】B
11．在正方体中，是线段的中点，若四面体的外接球体积为，
则正方体棱长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D． 5
【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力．
【答案】C
【解析】设正方体棱长为，因为是等腰直角三角形，且，设是中点，连接，则面，所以球心必在上，可求得外接球半径为3，可得，解得，故正方体棱长为．
12．已知函数，关于的方程（）有3个相异的实数根，则的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．
【答案】D
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设某总体是由编号为的20个个体组成，利用下面的随机数表选取个个体，选取方
法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为
________．
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619
6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238
【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想．
【答案】19
【解析】由题意可得，选取的这6个个体分别为18,07,17,16,09,19，故选出的第6个个体编号为19．
14．在正方形中，,分别是边上的动点，当时，则
的取值范围为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想和基本运算能力．
【答案】
（，）上的点到定点的距离，其最小值为，最大值为，故的取值范围为．
15．在中，角的对边分别为，若，的面积，
则边的最小值为_______．
【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意
在考查基本运算能力．
【答案】
16.已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，
恒成立，则的取值范围是_______．
【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力．
【答案】
【解析】由，得，两式相减得（），则（），两式相减得（），故数列从第二项开始，奇数项之间及偶数项之间均为公差为6的等差数列，要使得恒成立，只需成立，因为，所以，，则，解得．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）已知向量，，
设函数的图象关于点对称，且．
（I）若，求函数的最小值；
（II）若对一切实数恒成立，求的单调递增区间．
【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．
18．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位
得到的数据：
赞同
反对
合计
男
50
150
200
女
30
170
200
合计
80
320
400
（Ⅰ）能否有能否有的把握认为对这一问题的看法与性别有关？
（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出3人进行陈述
发言，设发言的女士人数为，求的分布列和期望．
参考公式：，
【命题意图】本题考查统计案例、超几何分布、分层抽样等基础知识，意在考查统计思想和基本运算能力．
的分布列为：
0
1
2
3
的数学期望为 ………………12分
19．（本小题满分12分）如图，四棱柱中，侧棱底面，，
，，，为棱的中点.
(Ⅰ)证明：面；
（II）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
【命题意图】本题考查直线和平面垂直的判定和性质、直线和平面所成的角、两点之间的距
离等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力
20．（本小题满分12分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于
和（）两点，且．
（I）求该抛物线的方程；
（II）如图所示，设为坐标原点，取上不同于的点，以为直径作圆与相交另外一点，
求该圆面积的最小值时点的坐标．
【命题意图】本题考查抛物线标准方程、抛物线定义、直线和抛物线位置关系等基础知识，意在考查转化与化归和综合分析问题、解决问题的能力．
因为，，化简得 ，所以，
当且仅当即＝16，时等号成立.
圆的直径,因为≥64，所以当＝64
即=±8时，，所以所求圆的面积的最小时，点的坐标为．
21．（本小题满分12分）已知．
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）设，且有两个极值点，其中，求的最小值．
【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想和综合分析问题、解决问题的能力．
【解析】（Ⅰ）的定义域，
当时，，
令得，或；令得，，
故的递增区间是和；
的递减区间是．
（Ⅱ）由已知得，定义域为，
，令得，其两根为，
且，
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22.（本小题满分10分）选修：几何证明选讲
如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相
交于点，为上一点，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求的长．
【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
【解析】（Ⅰ）∵,
∴∽,∴……………………2分
又∵,∴, ∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，∴∽，
∴，∴，又∵，∴．
∵,，∴ ，∵，∴，解得.
∴．∵是⊙的切线，∴
∴，解得．……………………10分
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为方程为
（），直线的参数方程为（为参数）．
（I）点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线垂直，求点的直角坐标和曲线C
的参数方程；
（II）设直线与曲线有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．
【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．
（Ⅱ）设直线：与半圆相切时
，，（舍去）
设点，，
故直线的斜率的取值范围为.
24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（I）若，使得不等式成立，求实数的最小值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若正数满足，证明：.
【命题意图】本题考查基本不等式、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查转化思想和基本运算能力．
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