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全卷满分150分 考试时间120分钟
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．
【答案】C
【解析】当时，，所以，故选C．
2．若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．
【答案】B
3．已知函数，则（ ）
A． B． C．1 D．
【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．
【答案】B
【解析】，故选B．
4．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识，意在考查识图能力和计算能力．
【答案】C
【解析】由题意，得甲组中，解得．乙组中，所以，所以，故选C．
5．已知为的三个角所对的边，若，则（ ）
A．2︰3 B．4︰3 C．3︰1 D．3︰2
【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．
【答案】C
【解析】由已知等式，得，由正弦定理，得，则，所以，故选C．
6．已知，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．
【答案】A
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．
【答案】D
8．自圆：外一点引该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到原点的长，则点轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．
【答案】D
【解析】由切线性质知，所以，则由，得，，化简得，即点的轨迹方程，故选D，
9．执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值的和为（ ）
A．243 B．363 C．729 D．1092
【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．
【答案】D
10．已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
【答案】D
【解析】当平面平面时，三棱锥的体积最大，且此时为球的半径．设球的半径为，则由题意，得，解得，所以球的体积为，故选D．
11．设为双曲线的右焦点，若的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想．
【答案】B
12．若直线与曲线：没有公共点，则实数的最大值为（ ）
A．－1 B． C．1 D．
【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．
【答案】C
【解析】令，则直线：与曲线：没有公共点，等价于方程在上没有实数解．假设，此时，．又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故．又时,,知方程在上没有实数解，所以
的最大值为，故选C．
第Ⅱ卷（共90分）m]
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若函数为奇函数，则___________．
【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．
【答案】2016
【解析】因为函数为奇函数且，则由，得，整理，得．
14．已知实数，满足，目标函数的最大值为4，则______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
【答案】
【解析】作出可行域如图所示：作直线：，再作一组平行于的直线：，当直线经过点时，取得最大值，∴，所以，故．
15．已知函数的一条对称轴方程为，则函数的最大值为___________．
【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
【答案】1
16．当时，函数的图象不在函数的下方，则实数的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
【答案】
【解析】由题意，知当时，不等式，即恒成立．令，．令，．∵，∴∴在为递减，∴，∴，∴在为递增，∴，则．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式和前项和；
（2）设，为数列的前项和，若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
【命题意图】本题考查等差数列通项与前项和、数列求和、不等式性质等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及方程思想与裂项法的应用．
18．（本小题满分12分）某旅行社组织了100人旅游散团，其年龄均在岁间，旅游途中导游发现该旅游散团人人都会使用微信，所有团员的年龄结构按分成5组，分别记为，其频率分布直方图如下图所示．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该旅游散团团员的平均年龄；
（Ⅱ）该团导游首先在三组中用分层抽样的方法抽取了名团员负责全团协调，然后从这6名团员中随机选出2名团员为主要协调负责人，求选出的2名团员均来自组的概率．
【命题意图】本题考查频率分布直方图与平均数、分层抽样、古典概型等基础知识，意在考查审读能力、识图能力、获取数据信息的能力．
19．（本小题12分）在多面体中，四边形与是边长均为正方形，平面，平面，且．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，间在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．
【解析】（1）连接，由题意，知，，∴平面．
又∵平面，∴．
又∵，∴……………………………2分
由题意，得，，，∴，
，，
则，∴．……………………………4分
又∵，平面．……………………………5分
∵平面，∴平面平面．……………………………6分
20．（本小题满分12分）已知分别是椭圆：的两个焦点，且，点在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与以原点为圆心，为半径的圆上相切于第一象限，切点为，且直线与椭圆交于两点，问是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由．
【命题意图】本题考查椭圆方程与几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查逻辑思维能力、探索性能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．
21．（本小题满分12分）已知函数．
（1）时，求函数的单调区间；
（2）设，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【命题意图】本题考查函数单调性与导数的关系、不等式的性质与解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力．
【解析】（1）函数定义域为，且
．
令，得，，………………2分
当时，，函数的在定义域单调递减； …………3分
当时，由，得；由，得或，
所以函数的单调递增区间为，递减区间为，；
当时，由，得；由，得或，
所以函数的单调递增区间为，递减区间为，．………5分
综上所述，时，的在定义域单调递减；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，．………6分
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形外接于圆，是圆周角的角平分线，过点的切线与延长线交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若是圆的直径，，，求长
【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考查逻辑推证能力、转化能力、识图能力．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，
以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
（1）设为参数，若，求直线的参数方程；
（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值．
【命题意图】本题主要考查抛物线极坐标方程、直线的极坐标方程与参数方程的互化、直线参数方程的几何意义的应用，意在考查逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数
的最小值．
【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．
【解析】（1）由题意，知不等式解集为．
由，得，……………………2分
所以，由，解得．……………………4分
（2）不等式等价于，
由题意知．……………………6分
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