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全卷满分150分 考试时间120分钟
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．
【答案】C
【解析】当时，，所以，故选C．
2．若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．
【答案】D
3．已知函数，若，则（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．
【答案】B
【解析】因为，所以，故选B．
4．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识，意在考查识图能力和计算能力．
【答案】C
【解析】由题意，得甲组中，解得．乙组中，所以，所以，故选C．
5．已知向量若，则（ ）
A． B． C．2 D．
【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．
【答案】A
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．
【答案】D
【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为，故选D．
7．自圆：外一点引该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到原点的长，则的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．
【答案】D
8．执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值的和为（ ）
A．243 B．363 C．729 D．1092
【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．
【答案】D
【解析】当时，是整数；当时，是整数；依次类推可知当时，是整数，则由，得，所以输出的所有的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D．
9．已知函数的一条对称轴方程为，则函数的最大值为（ ）
A．1 B．±1 C． D．
【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
【答案】A
10．四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为同一球面上，则（ ）
A．3 B． C． D．
【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
【答案】B
【解析】连结交于点，取的中点，连结，则，所以底面，则到四棱锥的所有顶点的距离相等，即球心，均为，所以由球的体积可得，解得，故选B．
11．已知过双曲线的右焦点的直线交双曲线于两点，连结，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．
【答案】B
12．已知函数，其中，为自然对数的底数．当时，函数的图象不在直线的下方，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用．
【答案】B
【解析】由题意设，且在时恒成立，而．令，则，所以在上递增，所以．当时，，在上递增，，符合题意；当时，，在上递减，
，与题意不合；当时，为一个递增函数，而，，由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，当时，，从而在上单调递减，从而，与题意不合，综上所述：的取值范围为，故选B．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若展开式中的系数为，则__________．
【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想．
【答案】
【解析】由题意，得，即，所以．
14．设变量满足约束条件，则的最小值是，则实数______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
【答案】
15．已知是数列的前项和，若不等式对一切恒成立，则的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力．
【答案】
【解析】由，…，两式相减，得，所以，于是由不等式对一切恒成立，得，解得．
16．已知、、分别是三内角的对应的三边，若，则的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想．
【答案】
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式和前项和；
（2）设是等比数列，且，求数列的前n项和．
【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，
则由，，得，解得，……………3分
所以，即，
，即．……………5分
18．（本小题满分12分）某市拟定2016年城市建设三项重点工程，该市一大型城建公司准备参加这三个工程的竞标，假设这三个工程竞标成功与否相互独立，该公司对三项重点工程竞标成功的概率分别为，，，已知三项工程都竞标成功的概率为，至少有一项工程竞标成功的概率为．
（1）求与的值；
（2）公司准备对该公司参加三个项目的竞标团队进行奖励，项目竞标成功奖励2万元，项目竞标成功奖励4万元，项目竞标成功奖励6万元，求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望．
【命题意图】本题考查相互独立事件、离散型随机变量分布列与期望等基础知识，意在考查学生的运算求解能力、审读能力、获取数据信息的能力，以及方程思想与分类讨论思想的应用．
【解析】（1）由题意，得，因为，解得．…………………4分
（Ⅱ）由题意，令竞标团队获得奖励金额为随机变量，
则的值可以为0，2，4，6，8，10，12．…………5分
而；；
； ；
； ；
．…………………9分
所以的分布列为：
0
2
4
6
8
10
12
于是，．……………12分
19．（本小题满分12分）在多面体中，四边形与均为正方形，平面，平面，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的大小的余弦值．
【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．
∵平面，∴平面平面．……………………………5分
20．（本小题满分12分）已知分别是椭圆：的两个焦点，是椭圆上一点，且成等差数列．
（1）求椭圆的标准方程；、
（2）已知动直线过点，且与椭圆交于两点，试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．
下面证明时，恒成立．
当直线的斜率为0时，结论成立；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，
由及，得，
所以，∴．
，，
∴=＝
．
综上所述，在轴上存在点使得恒成立．
21．（本小题满分12分）已知函数（）．
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；
（2）当时，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力．
（2）当时，．
假设存在实数，使有最小值3，
．………7分
①当时，在上单调递减，（舍去）．………8分
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
∴，满足条件．……………………………10分
③当时，在上单调递减，
（舍去），………11分
综上，存在实数，使得当时，函数最小值是3．……………………………12分
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形外接于圆，是圆周角的角平分线，过点的切线与延长线交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若是圆的直径，，，求长
【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考查逻辑推证能力、转化能力、识图能力．
∴，则，∴．
∴在中，，∴，∴，
∴在中，，所以．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
（1）设为参数，若，求直线的参数方程；
（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值．
【命题意图】本题主要考查抛物线极坐标方程、直线的极坐标方程与参数方程的互化、直线参数方程的几何意义的应用，意在考查逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．
【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．
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