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第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．
【答案】D
【解析】由绝对值的定义及，得，则，所以，故选D.
2.设复数（是虚数单位），则复数（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．
【答案】A
3.已知向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力．
【答案】B
【解析】由知，，∴，解得，故选B.
4.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（ ）
A. B. C. 1 D.
【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的体积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算能力．
【答案】D
5. 函数(，)的部分图象如图所示，则 f (0)的值为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.
【答案】D
【解析】易知周期，∴.由()，
得（），可得，所以，则，故选D.
6.已知实数，，则点落在区域 内的概率为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.
【答案】B
7. 某大学的名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽
车，每车限坐名同学（乘同一辆车的名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘
坐甲车的名同学中恰有名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种.
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力．
【答案】A
【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有种. 共有24种. 选A.
8. 在下面程序框图中，输入，则输出的的值是（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类.
【答案】B
9.，分别为双曲线（，）的左、右焦点，点在双曲线上，满足，
若的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．
【答案】D
【解析】∵，∴，即为直角三角形，∴，，则，
.所以内切圆半径
，外接圆半径.由题意，得，整理，得，∴双曲线的离心率，故选D.
10.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得
成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．
【答案】B
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11. 的展开式中，常数项为___________．(用数字作答)
【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项，基础题.
【答案】
【解析】的展开式通项为，所以当时，常数项为.
12.某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量（单位：毫克/升）与时间（单
位：小时）间的关系为（，均为正常数）．如果前5个小时消除了的污染物，为了
消除的污染物，则需要___________小时.
【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.
【答案】15
【解析】由条件知，所以.消除了的污染物后，废气中的污染物数量为，于是，∴，所以小时.
13. 如图，已知，是异面直线，点，，且；点，，且.若，分
别是，的中点，，则与所成角的余弦值是______________.
【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.
【答案】
14. 直线与抛物线交于，两点，且与轴负半轴相交，若为坐标原点，则
面积的最大值为 .
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.
【答案】
15. 设，记不超过的最大整数为，令.现有下列四个命题:
①对任意的，都有恒成立；
②若，则方程的实数解为；
③若（），则数列的前项之和为；
④当时，函数的零点个数为，函数的
零点个数为，则.
其中的真命题有_____________.(写出所有真命题的编号)
【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。
【答案】①③
【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然，①是真命题；对于②，由得，，即.当 时，，，此时化为，方程无解；当 时，，，此时化为，所以或，即或，所以原方程无解.故②是假命题；对于③，∵（），∴，，，，…，，，所以数列的前项之和为，故③是真命题；对于④，由
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（本小题满分12分）
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x2cos C＋4xsin C＋6≥0对一切实数x恒
成立.
（1）求cos C的取值范围；
（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的
形状.
【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.
17.（本小题满分12分）
两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中
放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设分别表示甲，乙，丙3个
盒中的球数.
（1）求，，的概率；
（2）记，求随机变量的概率分布列和数学期望.
【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力．
【解析】（1）由，，知，甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0，1，2，
此时的概率. （4分）
18.（本小题满分12分）
已知数列{}的前n项和为，且满足．
（1）证明：数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；
（2）数列{}满足，其前n项和为，试求满足的
最小正整数n．
【命题意图】本题是综合考察等比数列及其前项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高.
【解析】（1）当，解得. （1分）
当时，， ①
， ②
①-②得，即， （3分）
即，又.
所以是以2为首项，2为公比的等比数列.
即故（）. （5分）
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点是棱的中点，平面
与棱交于点．
（1）求证：；
（2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余
弦值．
【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面，直线与直线垂直的判定，二面角等基础知识，考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，以及数形结合思想、化归与转化思想.
∵平面，∴是平面的一个法向量，
20.（本小题满分13分）
如图，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：
（），设圆与椭圆交于点、．[_k.Com]
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆的方程；
（3）设点是椭圆上异于、的任意一点，且直线，分别与轴交于点(为坐标
原点)，求证：为定值．
【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，几何问题构建代数方法解决等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，综合分析问题解决问题的能力，推理能力和运算能力．
【解析】（1）依题意，得，，
；
故椭圆的方程为 ． （3分）
(3)设 由题意知：，.
直线的方程为
令 得,同理：，
. （10分）
又点在椭圆上，故
，
，
，
即为定值４. （13分）
21.（本小题满分14分）
已知函数（），其图象与轴交于不同两点，，且.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：.
【命题意图】本题考查利用导数研究函数单调性，极值，构建新函数的思想，分类讨论的思想等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力，逻辑思维能力．
所以.（4分）
∵，∴.
∵，∴方程有唯一正根，则.
又，在区间 单调递增，
所以根据零点存在定理，得在区间有唯一零点.
所以，………………①
又，…………②
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