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第Ⅰ卷（共40分）
一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知全集，集合，集合，则集合为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.
【答案】C.
【解析】由题意得，，，∴，故选C.
2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．64 B．72
C．80 D．112
【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力.
【答案】C.
3.中，“”是“”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.
【答案】A.
【解析】在中
，故是充分必要条件，故选A.
4.设函数对一切实数都满足，且方程恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.
【答案】A.
【解析】，∴的图象关于直线对称，
∴个实根的和为，故选A.
5.满足下列条件的函数中，为偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.
【答案】D.
6.已知点是双曲线C：左支上一点，，是双曲线的左、右两个焦点，且，与两条渐近线相交于，两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是（ ）
A. B.2 C. D.
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识，意在考查运算求解能力.
【答案】A.
7.设，为正实数，，，则=（ ）
A. B. C. D.或
【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力.
【答案】B.
【解析】，故
，而事实上，
∴，∴，故选B.
8.如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（ ）
A. 直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.
【答案】D.
第Ⅱ卷（共110分）
二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
9.已知圆，则其圆心坐标是_________，的取值范围是________．
【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力.
【答案】，.
【解析】将圆的一般方程化为标准方程，，∴圆心坐标，
而，∴的范围是，故填：，.
10.已知函数，，则 ， 的值域为 ．
【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.
【答案】，.
【解析】，∴，的值域为，
∴若：；若：，
∴的值域是，故填：，.
11.已知函数，则的值是_______，的最小正周期是______.
【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力．
【答案】，.
12.设，实数，满足，若，则实数的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．
【答案】.
【解析】不等式表示的区域如图所示（及其内部区域），表示原点到直线的距离，点到直线的距离成立，点
到直线的距离，解得，故填：.
13. 要使关于的不等式恰好只有一个解，则_________.
【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.
【答案】.
14.设平面向量，满足且，则 ，的最大值为 .
【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识，意在考查运算求解能力.
【答案】，.
【解析】∵，∴，
而，
∴，当且仅当与方向相同时等号成立，故填：，.
15.已知，为实数，代数式的最小值是 .
【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力.
【答案】.
三．解答题 ：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题满分14分）
在中，角，，所对的边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
【命题意图】考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在
考查运算求解能力．
【答案】（1）；（2）.
17.（本题满分15分）
如图是圆的直径，是弧上一点，垂直圆所在平面，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，圆的半径为，求与平面所成角的正弦值.
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）∵，分别为，的中点，∴，…………2分
∵为圆的直径，∴，…………4分
又∵圆，∴，…………6分
∴，，又∵，∴；…………7分
（2）设点平面的距离为，由得，解得，…………12分 设与平面所成角为，∵，
，则.…………15分
18.（本题满分15分）
若数列满足：（为常数， ），则称为调和数列，已知数列为调和数列，且，.
（1）求数列的通项；
（2）数列的前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.
【答案】（1），（2）详见解析.
当时，…………13分
∴存在正整数，使得的取值集合为，…………15分
19.（本题满分15分）
已知抛物线的方程为，点在抛物线上．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于不同于的两点，，若直线，分别交直线于，两点，求最小时直线的方程．
【命题意图】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查运算求解能力.
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵点在抛物线上，，…………2分
即抛物线的方程为；…………5分
20.（本题满分15分）
已知函数，当时，恒成立．
（1）若，，求实数的取值范围；
（2）若，当时，求的最大值．
【命题意图】 考查函数单调性与最值，分段函数，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力．
【答案】（1）；（2）.
（1）由且，得，
当时，，得，…………3分
故的对称轴，当时，，…………5分
解得，综上，实数的取值范围为；…………7分
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