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第Ⅰ卷（共40分）
一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知全集，集合，集合，则集合为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.
【答案】C.
【解析】由题意得，，，∴，故选C.
2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．64 B．72
C．80 D．112
【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力.
【答案】C.
3.已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.
【答案】A.
【解析】，设，，
显然是偶函数，且在上单调递增，故在上单调递减，∴，故是充分必要条件，故选A.
4.满足下列条件的函数中，为偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.
【答案】D.
5.设，为正实数，，，则=（ ）
A. B. C. D.或
【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力.
【答案】B.
【解析】，故
，而事实上，
∴，∴，故选B.
6.已知点是双曲线C：左支上一点，，是双曲线的左、右两个焦点，且，与两条渐近线相交于，两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是（ ）
A. B.2 C. D.
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力.
【答案】A.
7. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱中点，点在侧面内运动，若，则动点的轨迹所在曲线为（ ）
A. 直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.
【答案】C.
【解析】易得平面，所有满足的所有点在以为轴线，以所在直线为母线的圆锥面上，∴点的轨迹为该圆锥面与平面的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点的轨迹是双曲线，故选C.
8. 已知函数（），若数列满足，数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.
【答案】A.
第Ⅱ卷（共110分）
二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
9.已知圆，则其圆心坐标是_________，的取值范围是________．
【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力.
【答案】，.
【解析】将圆的一般方程化为标准方程，，∴圆心坐标，
而，∴的范围是，故填：，.
10.已知函数，，则 ，的值域为 ．
【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.
【答案】，.
11.已知函数，则的值是_______，的最小正周期是______.
【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力．
【答案】，.
【解析】∵，∴，又∵，∴的定义域为，，将的图象如下图画出，从而可知其最小正周期为，故填：，.
12.设，实数，满足，若，则实数的取值范围是
___________．
【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．
【答案】.
13. 要使关于的不等式恰好只有一个解，则_________.
【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.
【答案】.
【解析】分析题意得，问题等价于只有一解，即只有一解，
∴，故填：.
14. 已知，为实数，代数式的最小值是 .
【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力.
【答案】.
15.已知平面向量，的夹角为，，向量，的夹角为，，则与的夹角为__________，的最大值为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.
【答案】，.
三．解答题 ：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题满分14分）
在中，角，，所对的边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．
【答案】（1）；（2）.
17.（本题满分15分）
如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面．
（1）求证：；
（2）若，当二面角大小为时，求的值．
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）由于，，则，
又∵平面平面，平面平面＝，平面，
∴平面，…………3分
又∵平面，∴有；……………6分
18.（本题满分15分）
已知函数，当时，恒成立．
（1）若，，求实数的取值范围；
（2）若，当时，求的最大值．
【命题意图】本题考查函数单调性与最值，分段函数，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力．
【答案】（1）；（2）.
（1）由且，得，
当时，，得，…………3分
故的对称轴，当时，，………… 5分
解得，综上，实数的取值范围为；…………7分
，…………13分
且当，，时，若，则恒成立，
且当时，取到最大值．的最大值为2.…………15分
19.（本题满分15分）
设点是椭圆上任意一点，过点作椭圆的切线，与椭圆交于，两点．
（1）求证：；
（2）的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
∴点为线段中点，；…………7分
（2）若直线斜率不存在，则，与椭圆方程联立可得，，，故，…………9分
若直线斜率存在，由（1）可得
，，
，…………11分
点到直线的距离，…………13分
∴，综上，的面积为定值．…………15分
20.（本题满分15分）
正项数列满足，．
（1）证明：对任意的，；
（2）记数列的前项和为，证明：对任意的，．
【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
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