浦东新区2016年高三综合练习
数学卷答案及评分参考细则（文理合卷）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1.抛物线的准线方程是：_______
2.计算 1
3.已知， ，且、的夹角为，则=___.6
4.在复平面内，点对应的复数为，则= ．
5.关于方程的解为____
6.设则实数的取值集合为_______
7.已知公差为的等差数列的前项和为，若，则______。
答案：
8. 某校要从名男生和名女生中选出人，担任在迪斯尼举行的某项活动的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女都有的概率为＿＿(结果用数值表示).
9.（文）已知，则目标函数的最大值为 .
9.（理）圆心是、半径是的圆的极坐标方程为__________.
10.如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点作截面后形成的.已知，与底面所成的角为，则这个多面体的体积为
.
11．直线与抛物线至多有一个公共点，则的取值范围__
12.已知函数，若对于正数，关于的函数的零点个数恰好为个，则________。答案:
解答过程：当时，上半圆
当时，函数表示函数的周期为，函数的图像如下
，由于的零点个数为
则直线与第个圆相切，圆心到直线的距离为
有
13. 函数，数列，满足，若要使成等差数列，则的取值范围 .
答案：
14. （文）设集合是的两个非空子集．则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为：_________129
14.（理）设整数，集合是的两个非空子集．则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为：_________
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
15.若、为实数，则是的（ A ）
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充要条件 D. 既非充分条件也非必要条件
16．设为双曲线（）的上一点，，（为左、右焦点），则的面积等于（ ）
A. B. C. D.
17.若圆锥的侧面展开图是半径为，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（B）
A. B. C. D.
18. 设是公比为的无穷等比数列，若中任意两项之积仍是该数列中的项，则称为“封闭等比数列”。给出以下命题：
（1），则是 “封闭等比数列”；
（2），则是 “封闭等比数列”；
（3）若，都是“封闭等比数列”，则也都是“封闭等比数列”；
（4）不存在，使和都是“封闭等比数列”；
以上正确的命题的个数是（ B ）
A. B. C. D.
解答：（1），显然，命题（1）错误
（2）， 命题（2）正确
（3）若都为“封闭等比数列”，则不是“封闭等比数列”，命题（3）错误
（4）若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”，命题（4）错误
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
19.(文)（本题满分12分）如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动.
（1）当点为的中点时，证明//平面；
（2）求三棱锥的体积.
解（1）证明：连结、
∵点、分别是边、的中点
∴……………………（4分）
又平面,平面………………（5分）
∴当点是的中点时，//平面…………（6分）
（2）∵平面，且四边形为矩形.
∴，……………………（9分）
∴……………………（12分）
19.（理）（本题满分12分）如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动.
（1）求三棱锥的体积；
（2）证明：无论点在边的何处，都有.
（1）∵平面，且四边形为矩形.
∴，……………………（3分）
∴……………………（6分）
（2）∵平面，∴，又∵，且点是的中点，
∴……………………（8分）
又，，，∴平面，
又平面，∴……………………（10分）
由平面，又∵平面
∴无论点在边的何处，都有成立.……………………（12分）
注：(建立空间直角坐标系做，参照上面答案相应给分)
20、（本题满分14分）
如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块的一角开辟为游客体验活动区。
已知，、的长度均大于米。设, ，且, 总长度为米。
（1）当为何值时？游客体验活动区的面积最大，并求最大面积；
（2）当为何值时？线段
最小，并求最小值。
解：（1）因为 , 且 ……………………………………2分
所以 ……………………4分
当且仅当时，等号成立。
所以 当米时， 平方米 ………………6分
(2) 因为 …………………………8分
……………………………………………10分
所以 当米，线段米 ，此时，米。……12分
答： （1）当米时，游客体验活动区的面积最大为平方米；
（2）当米时，线段最小为…………………………14分
21. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数，
(1)上恒成立，求的取值范围.
(2)当时，对任意的，存在，使得恒成立，求的取值范围.
解：（1）在上恒成立，
所以。 ……………………………………………………………………6分
（2）当时，。
原问题等价于在区间上恒成立。…………………………8分
当时，函数在区间上单调递增，所以。
………………………………………………………………10分
故
综上.………………………………………………………………………………14分
22．（理科）（满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆。已知椭圆，其左顶点为、右顶点为。
（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；
（2）设椭圆（），过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；
（3）已知椭圆与椭圆（）是相似椭圆。椭圆上异于、的任意一点，求证：的垂心在椭圆上.
（1）解：显然椭圆的方程为，由椭圆与相似易得：
A
D
O
x
y
当时；………………………………2分
当时，…………………………4分
所以或 …………………………………………4分
（2）解：易得
所以、的方程分别为、
依题意联立：
又直线与椭圆相切则（又）即…………6分
依题意再联立：
又直线与椭圆相切则（又）即………8分
故，
即 当且仅当时取到等号，此时
所以当时取得最小值； …………………………………………10分
（3）证明：显然椭圆：，椭圆。 ……………………11分
由椭圆上的任意一点于是 ① ………………12分
设的垂心的坐标为
由得 …………………………………………………………………13分
又 ……………………………………………14分
将代入得 ②
由①②得 …………………………………………………………15分
又代入（1）得即的垂心在椭圆上。…………16分
22．（文科）（满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆。已知椭圆，其左顶点为、右顶点为。
（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；
（2）设椭圆（），过作斜率为的直线与椭圆只有一
个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆只有一个公共点，求的值；
（3）已知椭圆与椭圆（）是相似椭圆。椭圆上异于、的任意一点，且椭圆上的点（）求证：。
（1）解：显然椭圆的方程为，由椭圆与相似易得：
A
D
O
x
y
当时；…………………………2分
当时，………………………4分
所以或 …………………………………………4分
（2）证明：易得
所以、的方程分别为、
依题意联立：
又直线与椭圆相切则（又）即………………6分
依题意再联立：
又直线与椭圆相切则（又）即 …………8分
故。……………………………………………………………………………10分
（3）解：显然椭圆：，椭圆。……………………11分
由椭圆上的任意一点于是 ………………………………12分
椭圆上的点即又则 ………………13分
又则，………………………15分
又所以……16分
23.（本题满分16分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）
已知无穷数列满足（）．其中均为非负实数且不同时为0。
（1）若，且，求的值；
（2）若，，求数列的前项和；
（3）（理）若，，且是单调递减数列，求实数的取值范围。
（文）若，，求证：当时，数列是单调递减数列。
解：（1）………………………………2分
当时，解得
当时，无解
所以，……………………………………………………………4分
（2）若，。∴，………………5分
所以当为奇数时，；………………6分
当为偶数时，。………………………………7分
若时，，……………………………………………………8分
所以…………………………………………………10分
（3）（理科）由题意，
由，可得，解得 …………………………………11分
若数列是单调递减数列，则，可得
又有 ①
因为，所以即
由①可知，
所以
所以 ②
所以对于任意自然数，恒成立
因为，由，解得………………………14分
下面证明：当时，数列是单调递减数列。
（同文科）当时，可得 ③
由和，
两式相减得 ……………………16分
因为成立，则有
当时，，即 ④………………17分
由③④可知，当时，恒有
对于任意的自然数，恒成立。………………………18分
（文）由题意
当时，可得 ①…………………………12分
由和，
两式相减得………………………14分
因为成立，则有
当时，，即 ②………………16分
由①②可知，当时，恒有………………………17分
对于任意的自然数，恒成立。 ………………………18分
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