一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上.
1.在复平面内，复数 对应的点位于第________象限.
2.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为_______.
3.曲线在点处的切线方程为________.
4.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用截取的随机数表（如下图）选取6个个体，选取方法是从所给的随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为________.
7816 6572 0802 6314 0702 4369 1128 0598
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
5.如图是一个算法流程图，则输出的的值是________.
6.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为004，这600名学生分住在三个营区.从001到300在第I营区，从301到495在第II营区，从496到600在第III营区.则第三个营区被抽中的人
数为________.
7.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数12，则抽取的学生总人数是_______.
8.在如图所示的算法中，输出的 的值是_________.
9.甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是________.
10.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为_______,
11.观察下列等式， 根据上述规律， ________,
12.已知函数（为常数），直线 与函数 的图
像都相切，且 与函数的图像的切点的横坐标为1，则的值为_______.
13.已知 是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是_________.
14.已知函数，若对于任意的为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”.已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围是__________.
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
（1）已知 ，求实数 的值；
（2）已知，若是纯虚数，求.
16.(本小题满分14分)
甲、乙两名运动员参加“选拨测试赛”，在相同条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：
甲 86 77 92 72 78
乙 78 82 88 82 95
（1）用茎叶图表示这两组数据；
（2）现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由；
（3）若从甲、乙两人的5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的频率.
17.(本小题满分14分)
已知函数.（1）判断在上的单调性；（2）分别取，试比较与的大小；并写出一个一般性结论，并利用（1）的结论加以证明.
18.如图所示，是半径为1的半圆的一条直径，现要从中截取一个内接等腰梯形，设梯形的面积为.
（1）设，将表示成的函数关系式并写出其定义域；
（2）求梯形面积的最大值.
19.已知，且在和处有极值.
（1）求实数的值；
（2）若，判断在区间内的单调性.
20.给出定义在上的三个函数：，已知在处取最值.
（1）确定函数的单调性；
（2）求证：当时，恒有成立；
（3）把函数的图象向上平移6个单位得到函数，试确定函数的零点个数，并说明理由.
高二数学（加试）
解答题：本大题共4小题，共40分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.已知，试用反证法证明中至少有一个不小于1.
2.函数，若对
，求实数的最小值.
3.某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取了50名学生的笔试成绩，按成绩分组得到频率分布表如下：
组号
分组
频数
频率
第一组
8
0.16
第二组
①
0.24
第三组
15
②
第四组
10
0.20
第五组
5
0.10
合计
50
1.00
（1）写出表中①②位置的数据；
（2）为了选拨出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，然后在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率.
4.已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数，不等式都成立.
参考答案
一、 填空题
1. 三 2. 10 3. 4. 05 5. 17 6. 9 7. 48 8. 7 9. 10.
11. 12. 13. 14.
二、解答题：
15.解：（1）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）
……………………………………………………………………9分
所以或………………………………………………12分
所以或……………………………………………………14分
16.解：（1）茎叶图如下：
………………………4分
（2）选派乙参赛更好……………………………………5分
因为乙的平均成绩为85，高于甲的平均成绩81…………………………………9分
（3）记“甲的成绩比乙高”为事件 ，
则……………………………………………13分
答：甲的成绩比乙高的概率是………………………………14分
17.解：（1）∵，∴，
而时，，
故在上单调递减的……………………………………6分
（2），∴
，∴，………………………………………………7分
，∴，
，∴，
证明：由（1）有时，是递减的
∴………………………………………………12分
∴即，
而函数是单调递增的，
所以时，………………………………………14分
18.解：（1）过点作于，
∵，∴，……………………………………2分
，
∴……………………………………………7分
（说明：若函数的定义域漏写或错误，则扣2分）
（2），
令，
则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
所以当时，，∴函数在上单调递增，
当时，∴函数在上单调递减，
所以当时，有最大值，…………………………………15分
答：梯形面积的最大值为平方米………………………………16分
19.解：（1），得即，
所以………………………………2分
所以，从而，
因为在和处有极值.
所以，
解得……………………………………………………………6分
经检验满足题意.
所以…………………………………………………7分
（2）由（1）知，
，
易知：在和上单调递增；在上单调递减……………………………………9分
若，且，
即时，在区间内的单调递增；………………………………………10分
若，即时，
在区间内的单调递增，在区间内的单调递减；……………………12分
若，即时，在区间内的单调递减；……………………13分
若，即时，
在区间内的单调递减，在区间内的单调递增……………………………15分
若，在区间内的单调递增………………………………16分
20.解：（1）由题设，，则，
由已知，，即，
经检验满足题意，
于是，则，
由，，
所以在上是增函数，在上是减函数………………………………………5分
（2）当时，，即，
欲证，只需证，即证，
设，则，
当时，，所以在上为增函数.
从而当时，，即，故…………………10分
（3）由题设，，令，则，
设
令得，当时，，当时，，
所以，
，
，
故由零点存在定理，函数在，存在一个零点，函数在存在一个零点，
也就是说函数有两个零点…………………………16分
附加题参考答案
1. 解：假设均小于1，即，
则有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
而矛盾
所以原命题成立…………………………………………………10分
2. 解：由题意，
在递减，在递增，
所以，…………………………………3分
在单调递增，
，…………………………………………6分
；………………………………………………………10分
3．解：（1）①②位置的数据分别为12、0.3；…………………………………4分
（2）设6人为（其中第四 组的两人分别为），则从6人中任取2人的所有情形为：共有15种，……………………………8分
记“2人中至少有一名是第四组”为事件，则事件所含的基本事件的种数有9种，
所以，，故2人中至少有一名是第四组的概率为…………………………10分
4.解：，
因为时，取得极值，所以，
故，解得，
经检验符合题意…………………………………………………………………2分
（2）由知，由，得，
令，
则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根. ，
当时，，于是在上单调递增；
当时，，于是在上单调递减.
依题意有
解得…………………………………………5分
（3），定义域为
由（1）知，
令得：或者（舍去）
当时，，在上单调递增，
当时， ，在上单调递减，
为在上的最大值，
所以，
故（当且仅当时取等号）
对任意正整数，取，
得：故，
即，
即…………………………………………10分
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