北师大版九年级下第1章直角三角形的边角关系练习题含答案.docx

第一单元练习题 ‎1． cos60°的值等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎3． 在Rt△ABC中，cosA＝，那么sinA的值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎　　 图1－Y－1‎ ‎4． 如图1－Y－1，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是(　　)‎ A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米 ‎5．如图1－Y－2，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5米，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3米，小明身高EF＝1.6米，则凉亭的高度AB约为(　　)‎ A．8.5米 B．9米 ‎ C．9.5米 D．10米 图1－Y－2　　　图1－Y－3‎ ‎6． 如图1－Y－3，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，‎ 坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)(　　)‎ A．5.1米 B．6.3米 ‎ C．7.1米 D．9.2米 ‎7．如图1－Y－4，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)‎ 图1－Y－4‎ ‎　　　图1－Y－5‎ ‎8．如图1－Y－5，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为_______米(结果保留一位小数．参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)．‎ ‎9．如图1－Y－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E.设∠A＝α，且tanα＝，则tan2α＝________．‎ 图1－Y－6‎ ‎10．某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图1－Y－7所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD＝60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数(结果精确到1°)．‎ 图1－Y－7‎ ‎11．“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790 m．如图1－Y－8，DE∥BC，BD＝1700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1 m)‎ 图1－Y－8‎ ‎12．乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图1－Y－9所示)．建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)．无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处的俯角为80°36′.‎ ‎(1)求主桥AB的长度；‎ ‎(2)若两观察点P，D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长度．‎ ‎(长度均精确到1 m，参考数据：≈1.73，‎ sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06)‎ 图1－Y－9‎ ‎13．如图1－Y－10，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)‎ ‎(参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24)‎ 图1－Y－10‎ ‎14．把(sinα)2记作sin2α，根据图1－Y－11①和②完成下列各题：‎ ‎(1)sin2A1＋cos2A1＝________，sin2A2＋cos2A2＝________，sin2A3＋cos2A3＝________；‎ ‎(2)观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A＋cos2A＝________；‎ ‎(3)如图②，在Rt△ABC中证明(2)题中的猜想；‎ ‎(4)在△ABC中，∠A＋∠B＝90°，且sinA＝，求cosA的值．‎ 图1－Y－11‎ 详解 ‎1．D　2.A　3.B　4.A ‎5．A　[解析] 由题意知∠AGC＝∠FGE.又∠FEG＝∠ACG＝90°，∴△FEG∽△ACG，∴＝，即＝，∴AC＝8.∴AB＝AC＋BC＝8.5米．故选A.‎ ‎6．A　[解析] 如图，延长DE交AB的延长线于点P，过点C作CQ⊥AP于点Q.‎ ‎∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，‎ ‎∴CE＝PQ＝2，CQ＝PE.‎ ‎∵i＝＝＝，∴设CQ＝4x，BQ＝3x.‎ 由BQ2＋CQ2＝BC2可得(4x)2＋(3x)2＝102，解得x＝2或x＝－2(舍去)．‎ 则CQ＝PE＝8，BQ＝6，∴DP＝DE＋PE＝11.‎ 在Rt△ADP中，AP＝＝≈13.1，‎ ‎∴AB＝AP－BQ－PQ≈13.1－6－2＝5.1(米)．‎ ‎7．280　8.15.3‎ ‎9.　[解析] 如图，连接BE，‎ ‎∵D是AB的中点，ED⊥AB，‎ ‎∴ED是AB的垂直平分线，∴EB＝EA，‎ ‎∴∠EBA＝∠A＝α，∴∠BEC＝2α.‎ 设DE＝a，∵tanα＝，‎ ‎∴AD＝3a，AE＝a，‎ ‎∴AB＝6a，∴BC＝，AC＝，‎ ‎∴CE＝AC－AE＝－a＝a，‎ ‎∴tan2α＝＝＝.故答案为.‎ ‎10．解： 如图，延长AD交BC所在直线于点E.‎ 由题意，得BC＝17米，AE＝15米，∠CAE＝60°，∠AEB＝90°.‎ 在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，‎ ‎∴CE＝AE·tan60°＝15 米．‎ 在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，‎ ‎∴∠BAE≈71°.‎ 答：第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数约为71°.‎ ‎11．解：如图，过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M.‎ 由题意可得EM⊥AC，DF＝MC，∠AEM＝29°.‎ 在Rt△DFB中，sin80°＝，‎ 则DF＝BD·sin80°，‎ AM＝AC－MC＝AC－DF＝1790－1700·sin80°，‎ 在Rt△AME中，sin29°＝，‎ 故AE＝＝≈238.9(m)．‎ 答：斜坡AE的长度约为238.9 m.‎ ‎12．解：(1)由题意知∠ABP＝30°，AP＝97 m，‎ ‎∴AB＝＝＝＝97 ≈168(m)．‎ 答：主桥AB的长度约为168 m.‎ ‎(2)∵∠ABP＝30°，AP＝97 m，∴PB＝2AP＝194 m.‎ ‎∵∠DBA＝90°，∠PBA＝30°，‎ ‎∴∠DBP＝60°.‎ 又∠DPB＝30°＋30°＝60°，‎ ‎∴△PBD是等边三角形，∴DB＝PB＝194 m.‎ 在Rt△BCD中，∵∠C＝80°36′，‎ ‎∴BC＝＝≈32(m)．‎ 答：引桥BC的长度约为32 m.‎ ‎13．解：假设点D移动到点D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D作DE⊥AC于点E，过点D′作D′E′⊥AC于点E′.‎ ‎∵CD＝12米，∠DCE＝60°，‎ ‎∴DE＝CD·sin60°＝12×＝6 (米)，CE＝CD·cos60°＝12×＝6(米)．‎ ‎∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，‎ ‎∴四边形DEE′D′是矩形，‎ ‎∴DD′＝EE′，D′E′＝DE＝6 米．‎ ‎∵∠D′CE′＝39°，‎ ‎∴CE′＝≈≈12.8(米)，‎ ‎∴DD′＝EE′＝CE′－CE≈12.8－6＝6.8≈7(米)．‎ 答：学校至少要把坡顶D向后水平移动约7米才能保证教学楼的安全．‎ ‎14．解：(1)sin2A1＋cos2A1＝()2＋()2＝＋＝1，‎ sin2A2＋cos2A2＝()2＋()2＝＋＝1，‎ sin2A3＋cos2A3＝()2＋()2＝＋＝1.‎ 故答案为：1，1，1.‎ ‎(2)观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A＋cos2A＝1.‎ 故答案为：1.‎ ‎(3)证明：在Rt△ABC中，∵sinA＝，cosA＝，且a2＋b2＝c2，‎ ‎∴sin2A＋cos2A＝()2＋()2＝＋＝＝＝1，即sin2A＋cos2A＝1.‎ ‎(4)∵在△ABC中，∠A＋∠B＝90°，‎ ‎∴∠C＝90°，‎ ‎∴sin2A＋cos2A＝1，‎ 即()2＋cosA2＝1，‎ 解得cosA＝或cosA＝－(舍)，‎ 即cosA的值为.‎