湖北省黄冈中学2016届高三5月第一次模拟考试数学（文）试题 Word版含答案.doc

湖北省黄冈中学2016届高三5月第一次模拟考试 文科数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．集合，若，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数是实数，则实数等于 ‎ A．2 B．‎1 C．0 D．‎ ‎3．已知均为单位向量，它们的夹角为，则 ‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎4．已知命题使得，命题，则 ‎ A．命题是假命题 B．命题是真命题 ‎ C．命题是真命题 D．命题是假命题 ‎5．函数（）的单调递减区间为 A． B． C． D． ‎ 开始 否 是 输出 结束 ‎①‎ ‎②‎ 第7题图 ‎6．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为,‎ ‎ 则双曲线的方程为 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎7．如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图 ‎ 中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ A B C D ‎8．函数的图象大致是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9．已知数列满足：，，且，若为数列 ‎ ‎ 的前项和，则的最小值为 A． B． C． D． ‎ ‎10. 正四面体的四个面上分别写有数字1，2，3，4，把两个这样的四面体抛在桌面上，则露 ‎ ‎ 在外面6个数字分别为3，1，2，4，1，4的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ 第11题图 ‎11．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是 某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长等于 A． B． ‎ C． D．‎ ‎12．设直线与抛物线相交于两点，与圆 ‎ 相切于点，且为线段 ‎ 的中点，若这样的直线恰有4条，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上．）‎ ‎13．各项为正数的等比数列中，与的等比中项为，则 ． ‎ ‎14．设满足不等式，若，，则的最小值为 ． ‎ ‎15．已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱 ‎ 柱外接球的半径的最小值为 ．‎ ‎16．已知函数，，则 ‎ ‎ 函数的零点个数为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（本小题满分12分）如图，在△中已知，，是边上的一点．‎ ‎ （1）若，求的长；‎ ‎ （2）若，求△面积S的最大值．‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这 ‎ 两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶 ‎7 3‎ ‎3 2‎ ‎6 5 4 3 3 1 1 0‎ ‎2 2 1 1 0 0‎ ‎9 7 7 6 5 5 4 2‎ ‎8 6 2 0‎ ‎5‎ ‎3 ‎ ‎0 1‎ ‎0 2 3 3 3 3 6 6 8 9 9‎ ‎1 1 2 5 5 6 7 7 8 8 9‎ ‎0 2 4 8‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 甲 乙 ‎ 图如图所示：‎ ‎ ‎ ‎（1）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数；‎ ‎ （2）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩（不要求计算）；‎ ‎ （3）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，,‎ ‎ ，，分别为棱的中点．‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎（2）若异面直线与所成的角为，求三棱 ‎ 锥的体积．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆的上顶点为，且离心率 ‎ 为．‎ ‎ （1）求椭圆的方程；‎ ‎ （2）从椭圆上一点向圆引两条切线，切点为，当直线分别与轴，轴交于两点时，求的最小值．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知，其中均为实数，‎ ‎ （1）若，求函数的极值；‎ ‎ （2）设，若对任意给定的，在区间上总存在使得成立，求的取值范围．‎ ‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22. (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲 ‎ 已知为圆上的四点，直线为圆的切线，‎ 为切点，，与相交于点．‎ ‎ （1）求证：平分；‎ ‎ （2）若，求的长．‎ ‎ ‎ ‎23. (本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取 ‎ 相同的长度单位．已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为 ‎ （为参数,为直线的倾斜角）．‎ ‎ （1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎ （2）若直线与曲线有唯一的公共点,求角的大小．‎ ‎24. (本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 ‎ 已知，．‎ ‎ （1）求的最小值；‎ ‎ （2）若的最小值为，求的最小值． ‎ ‎ 高三5月第一次模拟考试文科数学答案 一、选择题 ‎1．A 2．D 3．C 4．C 5．B 6．C 7．D 8．A 9．D 10. C ‎ ‎11．A 【解析】该几何体为三棱锥，其棱长分别为：，其中最长的棱长为．‎ ‎12．【答案】D ‎【解析】设，直线的斜率设为，则，，两式相减，得，当的斜率存在时，得，因为直线与圆相切，所以，所以，即M的轨迹是直线．将代入，得，∴，∵在圆上，∴，∵直线恰有4条，∴，∴，故时，直线有2条；斜率不存在时，直线有2条；所以直线恰有4条时，，故选D．‎ 二、填空题 ‎13． 14． 15． ‎ ‎16． 2 【解析】，，因为，因此在和上递增，在上递减，且，，所以在，，上各有一个零点，依次记为，则无解，无解，有两解，故有2个零点．‎ 三、解答题 ‎17．【解析】在△ADC中，AD＝1，，‎ ‎, ,由余弦定理得：,所以．……6分 ‎（2）因为且∠B＝45°,所以45°， 135°．在△ADC中， ，由余弦定理得：‎ ‎,即 ‎,所以当且仅当时，△ACD面积S取得最大值为．……12分 ‎18．【解析】（1）因为每位同学被抽取的概率均为0.15，则高三年级学生总数……2分（2）由茎叶图可知甲校有22位同学分布在60至80之间，乙校也有22位同学分布在70 至80之间，乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大，方差较小．所以，乙校学生的成绩较好． ……6分 ‎（3）由茎叶图可知，甲校有4位同学成绩不及格，分别记为：1、2、3、4；乙校有2位同 学成绩不及格，分别记为：5、6．则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能：（1，‎ ‎2）、（13）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，4）、（3，5）、‎ ‎（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6），总共有15个基本事件．其中，乙校包含至少有一名学 生成绩不及格的事件为A，则A包含9个基本事件，如下：（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，‎ ‎6）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6）．所以，．……12分 ‎19．【解析】（1）取的中点为，连接，分别为棱的中点，，所以四边形为平行四边形，，又面，平面，所以平面；……6分 ‎（2），异面直线与所成的角为，所以，又，且，面，‎ 面，在中，,,‎ 所以．……12分 ‎20． 【解析】（1），所以椭圆的方程为；‎ ‎……4分（2）设点的坐标分别为，过点的圆的切线方程为 ‎，过点的圆的切线方程为，两条切线都过点，所以 ‎，，则切点弦的方程为，……7分，由题意知，所以，‎ ‎，当且仅当时取等号，‎ 所以的最小值为．……12分 ‎21． 【解析】（1），．当 时，，没有极值；当时，由，得，所以当，‎ ‎，当，，所以当时，取得极小值 ‎，没有极大值． ……5分 ‎ ‎（2），所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以 ，，又，当时，，所以在上单调递减，不符合题意；当 时，要使得，那么由题意知的极值点必在区间内，即，得，且函数在上单调递减，在 上单调递增，由题意得在上的值域包含于的值域，所以，……8分 由（2）得，由（1）得，记，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即当时，成立，即（1）成立，所以．……12分 ‎ ‎22. 【解析】（1），‎ 又切圆于点，，‎ ‎，而，，即BD平分∠ABC；……5分 ‎ ‎（2）由（I）知，又，‎ 又为公共角，∴与相似，，‎ ‎∵AB＝4，AD＝6，BD＝8，∴．……10分 ‎ ‎23. 【解析】（1）当时,直线的普通方程为；当时,直线的普通方程为. ……2分 由,得,所以,即为曲线的直角坐标方程. ……4分 ‎（2）把,代入,整理得.‎ 由,得,所以或,‎ 故直线倾斜角为或. ……10分 ‎24. 【解析】（1）∵，∴在是减函数，在是增函数．∴当时，取最小值． ……5分 ‎（2）由（1）知，的最小值为，∴．∵， ‎ ‎，当且仅当，即时，取等号，∴的最小值为． ……5分