赤峰二中2013级高三下学期第四次模拟考试
理科数学试题 2016.5
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，集合，则
A. B. C. D.
2.若命题，则对命题的否定是
A. B. C. D.
3.投掷两颗骰子，其向上的点数分别为和，则复数为纯虚数的概率为
A. B. C. D.
4.将函数的图象向左平移后得到函数，则具有性质
A. 最大值为，图象关于直线对称 B. 周期为，图象关于对称
C.在上单调递增，为偶函数 D.在上单调递增，为奇函数
5.网格纸上小正方形的边长为1，一个正三棱锥的左视图如图所示，则这个正三棱锥的体积为
A. B. C. D.
6.等比数列各项为正，成等差数列，为的前项和，则
A. B. C. D.
7.设函数，其中，则的展开式中的系数为
A. B. C. D.
8.有编号为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的边互不相同的种数为
A. B. C. D.
9.若实数满足，则的最大值是
A. B. C. D.
10.已知函数，若数列满足且是递减数列，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
11.椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
12.已知以为周期的函数，其中，若方程恰有5个实数根，则的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.在中，是的中点，若在线段上运动，则的最小值为 .
14.如图是一个算法的程序框图，则输出的值是 .
15.如果满足的三角形有且只有一个，那么的取值范围是 .
16.底面半径为的圆柱形容器里放有四个半径为的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切，现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知向量，向量，函数
（1）化简的解析式，并求函数的单调递减区间；
（2）在中，分别是角的对边，已知的面积为，求的值.
18.(本小题满分12分)
某大学高等数学老师上学期分别采用了A,B两种不同的教学方式对甲、乙两个大一新生班进行教改试验（两个班人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）.
现随机抽取甲、乙两班各20名同学的上学期数学期末考试成绩，得到茎叶图如图所示：
（1）依据茎叶图判断哪个班的平均分高？
（2）从乙班这20名同学中随机抽取两名高等数学成绩不低于85分的同学，求成绩为90分的同学被抽到的概率；
（3）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的列联表，并判断“能否在犯错的概率不超过0.025的条件下认为成绩优秀与教学方式有关？”
甲班
乙班
合计
优秀
不优秀
合计
下面的临界值比仅供参考：
附参考公式与数据：，其中
19.(本小题满分12分)
在如图所示的多面体中，平面，平面，为的中点.
（1）请在线段上找到点的位置，使得恰有直线平面，并证明这一事实；
（2）求平面与平面所成锐二面角的大小；
（3）求点到平面的距离.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的焦距为，离心率为，其右焦点为，过点作直线交椭圆于另一点
（1）若，求外接圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为上的一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知函数
（1）若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：（为自然对数的底数，
）.
请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，直线经过上的点，并且交直线于，连接
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，的半径为3，求的长.
23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲
已知曲线的极坐标方程为.
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
（2）若点在曲线上，求使恒成立的实数的取值范围.
24.(本小题满分10分)不等式选讲
已知函数
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围.
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