全国卷理科数学模拟试题一
第Ⅰ卷
一 选择题：本题共12题，每小题5分，共60.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的.
1．设集合，则= （ ）
A. B. C. D.
2.复数的实部是（ ）
A． B．
C． D．
3.设，，,则，， 的大小关系是 ( )
（A）（B）
（C）（D）
．
．
．
4．如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量
满足，则
A． B． C． D．
5.下列说法:
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;
②设有一个回归方程,变量x增加一个单位时,y平均增加5个单位;
③回归方程
④有一个2×2列联表中,由计算得=13.079,则有99%的把握确认这两个变量间有关系.其中错误的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
本题可以参考独立性检验临界值表:
P(≥)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0. 025
0.010
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5. 024
6.635
6．执行如图的程序框图，输出的值是（ ）
A． B． C． D．
7．等差数列{an}中，a1+a2+…+a50＝200，a51+a52+…+a100＝2700，则a1等于( )
A．－1221 B．－21．5 C．－20．5 D．－20
8．下列命题中正确的是（ ）
A．若为真命题，则为真命题
B．“，”是“”的充分必要条件
C．命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”
D．命题，使得，则，使得
9．设等比数列的前项和为．则“”是“”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（D）既不充分又不必要条件 （C）充要条件
10.某四棱柱的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对数是（ ）
A． B． C．6 D．
11.设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）
B. C. D.
12.已知函数若，使得成立，则实数的取值范围是 ( )
（A） （B）
（C） （D）或
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13第21必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23,24考生根据要求作答。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13.(2013济南三模)某市居民2009~2013年家庭年平均收入x(单位:万元)与年平均支出Y(单位:万元)的统计资料如表所示:
年份
2009
2010
2011
2012
2013
年平均收入x
11.5
12.1
13
13.3
15
年平均支出Y
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是 ,家庭年平均收入与年平均支出
有 线性相关关系.
14．某校编写了甲、乙、丙、丁四门选修课教材，在同一学年的五个班级试用。要求：每个班级只开设一门选修课；只有一、二班开设相同的选修课，且三班不开设甲门选修课，则不同的开设方法共有 种（用数字作答）
15．二项式的展开式第4项是常数项，则n的值是
16．设函数，集合，且．直直角坐标系中，集合所表示的区域的面积为______．
三．解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)．
17．（本小题满分12分）
已知的三个内角分别为A,B,C,且
（Ⅰ）求A的度数；
（Ⅱ）若求的面积S.
18. （本小题满分12分）
某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6、0.4、0.5、0.2 . 已知各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）记该选手在选拔中回答问题的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.
19．（本小题满分12分）
F
E
C
1
B
1
A
1
C
B
A
（第19题图）
如图，在直三棱柱中，，AB=AC=a，，点E，F分别在棱，上，且，．设．
（Ⅰ）当=3时，求异面直线与所成角的大小；
（Ⅱ）当平面⊥平面时，求的值．
20.（本小题满分12分）
已知，，
（Ⅰ）对一切恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当求函数()上的最小值.
21.（本小题满分12分）已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，.
经过点的直线与椭圆交于，两点.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）记与的面积分别为和，求的最大值.
（本小题满分10）
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22. 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（Ⅰ）BE＝EC；
（Ⅱ）AD·DE＝2PB2.
22题图
23. 坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy中，已知点P(0，)，曲线C的参数方程为(φ为参数)．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
（Ⅰ）判断点P与直线l的位置关系，说明理由；
(Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A、B，求|PA|·|PB|的值．
24选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
设不等式的解集为,且,.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）求函数的最小值.
全国卷理科数学模拟试题一参考答案
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1-5 DCCDB 6-10 BCDCD 11-12 DA
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13 13万元 正相关 14 18种 15 6 16
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
17．解:（Ⅰ）
, ……………………….2分
, ……………………….4分
°. …………………….6分
（Ⅱ）在中,,
或(舍),………….10分
. …………………….12分
18． 解：记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai（i=1，2，3，4）
则P（A1）=0.6，P（A2）=0.4，P（A3）=0.5，P（A4）=0.2
（Ⅰ）该选手被淘汰的概率：P=P（+ A1+ A1 A2+ A1 A2 A3）
= P（）+ P（A1）P（）+P（A1）P（A2）P（）+ P（A1）P（A2）P（A3）P（）
=0.4+0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8=0.976 ……5分
(Ⅱ)=1,2,3,4 ……6分
P(=1)=P()=0.4 ……7分
P(=2)=P（A1）=P（A1）P（）=0.6×0.6=0.36 ……8分
P(=3) =P（A1 A2）=P（A1）P（A2）P（）=0.6×0.4×0.5=0.12 ……9分
P(=4)=P（A1 A2 A3）=P（A1）P（A2）P（A3）=0.6×0.4×0.5=0.12 ……10 分
因此的分布列为
1
2
3
4
P
0.4
0.36
0.12
0.12
z
y
x
F
E
C
1
B
1
A
1
C
B
A
（第19题图）
的数学期望E=1×0.4+2×0. 36+3×0.12+4×0.12=1.96 ……12 分
19．（本小题满分12分）
解：建立如图所示的空间直角坐标系．
（Ⅰ）设a=1，则AB=AC=1，3，各点的坐标为,，，．
，．
∵,，
∴．
∴向量和所成的角为，
∴异面直线与所成角为．……5分
（Ⅱ）∵，， ∴．
设平面的法向量为，
则，且．即，且．
令，则．
∴=是平面的一个法向量． ………9分
同理，=是平面的一个法向量．
∵平面⊥平面，
∴．∴．解得，．
∴当平面⊥平面时，． ………………………12分
20解：（Ⅰ）对一切恒成立，即恒成立.
也就是在恒成立.
令，则，
在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，即，所以.
（Ⅱ）当，
，由得.
①当时，在上，在上
因此，在处取得极小值，也是最小值，
②当，，因此上单调递增，所以。
故。
21（Ⅰ）解：因为为椭圆的焦点,所以又
所以所以椭圆方程为………………4分
（Ⅱ）当直线无斜率时,直线方程为,
此时, 面积相等，………………5分
当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,
设
和椭圆方程联立得到,消掉得
显然，方程有根，且………………8分
此时
………………11分
因为,上式，（时等号成立）
所以的最大值为………………12分
22．（Ⅰ）证明：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，
故∠PAD＝∠PDA.
因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，
∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，
∠DCA＝∠PAB，
所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.
因此BE＝EC.
（Ⅱ）由切割线定理得PA2＝PB·PC.
因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.
由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，
所以AD·DE＝2PB2.
23（Ⅰ）解：(1)直线l：2ρcos(θ－)＝，即ρcosθ＋ρsinθ＝，
∴直线l的直角坐标方程为x＋y＝，
∴点P(0，)在直线l上．
（Ⅱ）直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的普通方程为
直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，
得3(－t)2＋(＋t)2＝15，
∴t2＋2t－8＝0，Δ＝36>0，
设方程的两根为t1，t2，
则|PA|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝|－8|＝8.
24.解:(Ⅰ)因为,且,所以,且
解得,又因为,所以
(Ⅱ)因为
当且仅当,即时取得等号,所以的最小值为
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