天津市武清区2015～2016学年度第二学期高三年级第三次模拟考试
数学(文科)试题
题号
一
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
得分
注意事项：
1．选择题选出答案后，请用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
2．请用黑色墨水的钢笔或签字笔解答填空题、解答题。
得 分
评卷人
一．选择题（本大题共8 小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若为虚数单位，则复数等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．下列函数中值域为实数集的偶函数是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）
（A）101 （B）102 （C）103 （D）104
4． 是“函数在区间上为增函数”的( )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
5．已知，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，圆心为且和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为．若，则双曲线的离心率为（ ）
（A） （B） （C）2 （D）
7．如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线，∥，点在圆上，与交于点．若，则等于（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
得 分
评卷人
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上）
9．已知集合，集合，则 ．
10．某校的象棋兴趣班有高一年级10人，高二年级15人，高三年级5人，用分层抽样的方法
从这个兴趣班中抽取6人进行集中训练，然后从这6人中随机抽取2人代表学校参加本区内校际
高中生象棋大赛，则这2人中恰好有高二、高三各一人的概率为 ．
11．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为 ．
12．若函数的图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标
伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位长度，
最后将得到的函数图象沿y轴向下平移1个单位长度，最后得到函数
y=sinx的图象，则函数的解析式为 ．
13．在中，的延长线交的延长线于点，则的值为 ．
14．若对，，总有不等式成立，则实数a的取值范围是 ．
三.解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
得 分
评卷人
15．（本小题满分13分）
在中，内角的对边分别为，，．
（1）若，求的大小；
（2）若，求的大小及的面积．
得 分
评卷人
16．（本小题满分13分）
某工艺厂有铜丝5万米，铁丝9万米，准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售．已知编制
一只花篮需要铜丝200米，铁丝300米；编制一只花盆需要铜丝100米，铁丝300米．设该厂用所有原料编制个花篮，个花盆．
（1）列出、满足的关系式，并画出相应的平面区域；
（2）若出售一个花篮可获利300元，出售一个花盆可获利200元，那么怎样安排花篮和花
盆的编制个数，可使所得利润最大，最大利润是多少？
得 分
评卷人
17．（本小题满分13分）
如图，四边形为矩形，四边形为直角梯形，∥，，，
．
（1）求证：；
（2）求证：∥平面；
（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成的角．
得 分
评卷人
18．（本小题满分13分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，在第一象限椭圆上的一点满足，且．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设与轴的交点为，过点与直线垂直的直线交椭圆于两点，若
，求椭圆的方程．
得 分
评卷人
19．（本小题满分14分）
已知数列的前项和为，，对任意的都有，
记．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求；
（3）证明：存在，使得．
得 分
评卷人
20．（本小题满分14分）
已知函数，
（1）若，求函数的单调区间和最大值；
（2）若，且对任意,恒有,求实数的取值范围.
数学(文科)参考答案
1．D 2．B 3．C 4．A 5．D 6．D 7．A 8．B
9． 10． 11．3 12． 13． 14．
15．（本小题满分13分）
（1）∵，，∴…………………………2分
由于…………………………3分
∴…………………………5分
（2）∵，∴，∴…………………………6分
∵，∴…………………………8分
∵…………………………9分
∴，即…………………………10分
解得…………………………11分
∴的面积为…………………………13分
16．（本小题满分13分）
（1）解：由已知、满足的关系式为
，等价于 …………………3分
该二元一次不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部分 …………………6分
（2）解：设该厂所得利润为元，则目标函数为………………8分
将变形为，这是斜率为，在轴上截距为、随变化的一族平行直线．………………9分
又因为、满足约束条件，所以由图可知，当直线经过可行域上的点时，截距最大，即最大………………10分
解方程组得点的坐标为且恰为整点，即……11分
所以，………………12分
答：该厂编制200个花篮，100花盆所获得利润最大，最大利润为8万元．…………13分
17．（本小题满分13分）
（1）∵四边形为矩形，∴，又∵，是平面内的两条相交直线，∴平面 ………………2分
∵平面，∴………………3分
（2）在上取一点，使，连，∵∥，∴∥
∴四边形为平行四边形………………5分
∴四边形为平行四边形………………6分
∴∥，∵平面，平面，∴∥平面……………7分
（3）∵，∴就是二面角的平面角
∴ ，………………8分
∵∴………9分
∴在直角中，………………10分
过作与的延长线垂直，是垂足，∴在直角中，
∵平面，平面，∴平面平面
∴平面，∴是直线与平面所成的角…………12分
在直角中， ，∴………………13分
18．（本小题满分13分）
（1）由椭圆定义，∵，∴，
∴ …………………2分
在直角中，，即……………4分
∴，即，∴椭圆的离心率为…………………5分
（2）∵，∴，∴椭圆方程为，
即…………………6分
易知点的坐标为，∵点是线段的中点，∴点的坐标为
∵直线的斜率为，∴直线的斜率为，
∴直线的方程为…………………8分
与椭圆方程联立消去得 …………………9分
设点的坐标为，点的坐标为，∴
∵垂直平分线段，∴ …………………10分
∴
∴
∴
化简得，∴，∴ …………………12分
∴，∴椭圆的方程为…………………13分
19．（本小题满分14分）
（1）∵，
∴
…………………2分
∴数列是公差为1，首项为的等差数列. …………………3分
（2）由（1）可知…………………4分
∴，∴…………………5分
令数列的前项和为，则…………………6分
令数列的前项和为，
则
∴
∴
∴…………………9分
…………10分
（3）通过分析，推测数列的第一项最大，……11分
下面证明
∵，∴只需证
即，
即，
∵，∴上式显然成立，∴…………………13分
∴存在，使得对任意的均成立. …………………14分
20．（本小题满分14分）
（1），定义域为，………………………1分
………………………2分
易知，当时，，………………………3分
当时，，函数的减区间为……4分
当时，，函数的增区间为……5分
所以，是函数的极大值点，也是最大值点，最大值为．………………6分
（2）已知函数，显然，∵ ，∴．
当时，，不合题意．………………………8分
当时，由可得，，
设， 则，………………………9分
设，则
若，则，，，∴在内单调递增，
又，∴ ∴符合题目要求；………………………11分
若，则，∵，，
∴存在，使得．………………………12分
对任意，∵，∴，则在内单调递减，又
∴当时，，不合题目要求．………………………13分
综上,，实数的取值范围是．………………………14分
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