天津市武清区2015～2016学年度高三年级第二学期第三次模拟考试
数学(理科)试题
题号
一
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
得分
注意事项：
1．选择题选出答案后，请用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
2．请用黑色墨水的钢笔或签字笔解答填空题、解答题。
得 分
评卷人
一．选择题（本大题共8 小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若为虚数单位，则复数等于（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2．已知满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）
（A）15 （B）5
（C） （D）
3．如图为某算法的程序框图，该算法的程序运行后输出的结
果为299，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4．“”是“函数在区间上为增函数”的( )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
5．已知，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，以点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，切点为．若，则双曲线的离心率为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
7．如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线，∥，点在圆上，与交于点．若，则等于（ ）
（A）2 （B）
（C） （D）
8．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
得 分
评卷人
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上）
9．已知集合，集合，则 ．
10．在平面直角坐标系内，满足的点构成的区域为，曲线与直线
围成的封闭区域为．向内随机投入一点，该点落入内的概率为 ．
11．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为 ．
12
．从4名男生，3名女生中选派3人参加学科竞赛，一人参加数学竞赛、一人参加物理竞赛、一人参加化学竞赛，若3人中既有男生又有女生，则不同的选派方法有 种．
13．已知是内一点，，的面积为2016，则的面积为 ．
14．若对，，总有不等式成立，则实数a的取值范围是 ．
三.解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
得 分
评卷人
15．（本小题满分13分）
已知函数，．
（1）求函数的最小正周期并写出函数图象的对称轴；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
得 分
评卷人
16．（本小题满分13分）
某人玩掷骰子移动棋子的游戏，棋盘分为两方，开始时棋子放在方，根据下列①、
②、③的规定移动棋子：①骰子出现1点时，不能移动棋子；②出现2、3、4、5点时，把棋子移向对方；③出现6点时，若棋子在方就不动，若棋子在方就移至方．
（1）将骰子连掷2次，求掷第一次后棋子仍在方而掷第二次后棋子在方的概率；
（2）若将骰子连掷3次，3次中棋子移动的次数记为，求随机变量的分布列和期望．
得 分
评卷人
17．（本小题满分13分）
如图，四边形为矩形，四边形为直角梯形，∥，，
，，是中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证： ；
（3）若二面角的大小为，求线段的长．
得 分
评卷人
18．（本小题满分13分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，在第一象限椭圆上的一点满足，且．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设与轴的交点为，过点与直线垂直的直线交椭圆于两点，若，求椭圆的方程．
得 分
评卷人
19．（本小题满分14分）
已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求；
（3）证明：存在，使得．
得 分
评卷人
20．（本小题满分14分）
已知函数，，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围；
（3）设是函数的两个零点，求证．
数学(理科)参考答案
1．D 2．C 3．B 4．A 5．C 6．B 7．B 8．A
9． 10． 11．3 12．180 13．4032 14．
15．（本小题满分13分）
（1）
…………………………2分
…………………………4分
函数的最小正周期为．…………………………6分
由函数图象可知函数图象的对称轴为．……………7分
（2）∵函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，……9分
…………………………11分
∴函数在区间上的最大值为，最小值为………………13分
16．（本小题满分13分）
(1)骰子掷第一次后棋子在方的事件记为,则 ………………2分
骰子掷第二次后棋子在方的事件记为,则…………………………4分
∵事件、互相独立，∴棋子在掷第一次后在方,掷第二次后在方的概率为
…………………………5分
（2）的可能值为0,1,2,3 ………………………6分
………………………7分
………………………8分
………………………9分
………………………10分
随机变量的分布列为………………………11分
0
1
2
3
………………………13分
17．（本小题满分13分）
（1）在上取一点，使，连，∵∥，∴∥
∴四边形为平行四边形………………1分
∴四边形为平行四边形………………3分
∴∥，∵平面，平面，∴∥平面…………4分
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴，建立空间直角坐标系．设，
∵，，是中点．
∴，．……………6分
∴，……………7分
∵，∴………8分
（3）∵四边形为矩形，∴，又∵，是平面内的两条相交直线，∴平面
∵平面，∴，∴，又
∵是平面内的两条相交直线，∴平面 ………………9分
∴是平面的一个法向量………………10分
设平面的一个法向量为，∴
∴，令，则，即………………11分
∵二面角的大小为，∴，解得
∴线段的长为………………13分
18．（本小题满分13分）
（1）由椭圆定义，∵，∴，
∴ …………………2分
在直角中，，即……………4分
∴，即，∴椭圆的离心率为…………………5分
（2）∵，∴，∴椭圆方程为，
即…………………6分
易知点的坐标为，∵点是线段的中点，∴点的坐标为
∵直线的斜率为，∴直线的斜率为，
∴直线的方程为…………………8分
与椭圆方程联立消去得 …………………9分
设点的坐标为，点的坐标为，∴
∵垂直平分线段，∴ …………………10分
∴
∴
∴
化简得，∴，∴ …………………12分
∴，∴椭圆的方程为…………………13分
19．（本小题满分14分）
（1）∵，∴…………………1分
令，∵，∴，∴…………………2分
∴
…………………4分
∴…………………5分
（2）令数列的前项和为，则…………………6分
令数列的前项和为，
则
∴
∴
∴…………………9分
…………10分
（3）通过分析，推测数列的第一项最大，……11分
下面证明
∵，∴只需证
即，
即，
∵，∴上式显然成立，∴…………………13分
∴存在，使得对任意的均成立. …………………14分
20．（本小题满分14分）
（1）…………………1分
令，得，则的单调递增区间为；…………………2分
令，得，则的单调递减区间为.…………………3分
（2）记，则，
………………………4分
∵，∴，
∴函数为上的增函数，…………5分
∴当时，的最小值为………………………6分
∵存在，使得成立，∴………………………7分
即，解得或即为所求. ………………………8分
（3）由（1）可知，是函数的极小值点，也是最小值点，即最小值为，
显然只有时，函数有两个零点，设，易知， ．………9分
∵
，………………………10分
令，由（2）可知在上单调递增，…………11分
∴，又∵，∴，即…………12分
∴，又∵，………………………13分
且由（1）知在上单调递减，∴，∴．………14分
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