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2016 年重庆一中高 2016 级高三下期高考模拟考试
数 学 试 题 卷（文科） 2016.5
数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：（共 12 小题,每小题 5 分,共 50 分）
1.若集合 ，且 ，则集合 可能是（ ）
A． B． C． D．
2.已知 为虚数单位，若复数 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
3.计算 的结果等于（ ）
A. B. C. D.
4.已知 ；
直线 与直线 垂直,
则 是 成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既非充分又非必要条件
5.已知圆 与抛物线 的准线相切，则实数 （ ）
A． B． C． D．
6.已知实数 满足条件 ，则使不等式 成立的点 的区域的面
积为（ ）A． 1 B． C． D．
7.设曲线 在点(3,2)处的切线与直线 有
相同的方向向量,则 等于（ ）
A． B． C.
D．
8.右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗
转相除法”，执行该程序框图（图中“ ”表示 除
以 的余数），若输入的 ，
分别为 495，135，则输出的 =( )
A．0 B．5 C．45
D．90
9.函数 的定义域和值域都是
， ( )
A． B． C． D．
10.双曲线 的两顶点为 ，虚轴两端点为 ，两焦点为 .
若以 为直径的圆内切于菱形 ,则双曲线的离心率是（ ）
（第 8 题图）
A. B. C. D.
11.已知 是半径为 1 的球面上三个定点,且 ,高为 的三棱
锥 的顶点 位于同一球面上,则动点 的轨迹所围成的平面区域的面积是（ ）
A. B. C. D.
12.设函数 若不等式 ≤0 有解,则实数 的最小值为
（ ）A． B． C． D．
二、填空题：（共 4 个小题，每小题 5 分 共 20 分）
13.将某班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48 的 48 名学生，采用系统抽样的方法抽取
一个容量为 6 的样本，已知 5 号，21 号，29 号，37 号，45 号学生在样本中，则样本中还有
一名学生的编号是 ．
14.如右图，在正方体 中，点 是上底面 内一动点，则三棱锥
的正（主）视图与侧（左）视图的面积的比为 ．
15.梯形 中， ,若 ， 则 ＝ ．
16.已知等差数列 的公差 ， ，且
,当且仅当 时，数列 的前 项和 取得最小值，则首项 的取值范围
是____________.
三、解答题：（共 70 分）
17. （本小题满分 12 分）
已知 分别为 三个内角 的对边， .
（Ⅰ）求 ;
（Ⅱ）若等差数列 的公差不为零，且 ，且 成等比数列，求
的前 项和 .
18.（本小题满分 12 分）
如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，M，N 分别为 AB，B1C1 的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面 AA1C1C；
（Ⅱ）若 CC1＝CB1，CA＝CB，平面 CC1B1B⊥平面 ABC，求证：AB平面 CMN．
19.（本小题满分 12 分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 11.6 12.2 13.2 13.9 14.0 11.5 13.1 14.5 11.7 14.3
乙 12.3 13.3 14.3 11.7 12.0 12.8 13.2 13.8 14.1 12.5
某班甲、乙两名学同参加 100 米达标训练，在相同条件下两人 10 次训练的成绩(单位：秒)
如下：
(Ⅰ)请完成样本数据的茎叶图(在答题卷中)；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的
100 米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可
通过统计图直接回答结论);
(Ⅱ)从甲、乙两人的 10 次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比 12.8
秒差的概率;
(Ⅲ)经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在区间 (单
位:秒)之内，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.8 秒的概率．
20．（本小题满分 12 分）
给定椭圆C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2 为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆
C的离心率为3
2，且经过点(0，1)．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若过点P(0，m)(m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1
所截得的弦长为 2，求实数m的值．
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 .
(Ⅰ)讨论 的单调性；
(Ⅱ)若对任意 且 ，有 恒成立，求实数 的取值范围.请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题
计分．
22.（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲
如图所示，已知圆 外有一点 ，作圆 的切线 ， 为切点，过 的中点 ，作
割线 ，交圆于 、 两点，连接 并延长，交圆 于点 ，连接 交圆 于点 ，
若 ．
（Ⅰ）求证： ∽ ；[来源:学科网]
（Ⅱ）求证：四边形 是平行四边形．
23.（本小题满分 10 分） 选修 4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，圆 的参数方程 （ 为参数）．以 为极点， 轴的
非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆 的交点为 、
，与直线 的交点为 ，求线段 的长．
24.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
设 ．
（Ⅰ）求 的解集；
（Ⅱ）若不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围.
命题人：杨春权 审题人：周波涛2016 年重庆一中高 2016 级高三下期高考模拟考试
数 学 答 案（文科） 2016.5
1--5 ACDAB 6--10 ABCCB 11--12 DD
12.解：化简 ≤0 可得 从而令 ，求导以
确定函数的单调性，从而解得.
≤0 可化为 ，
令 ，则
故当 ，即 时， 有最小值
，
故当 时， 时， ；故 有最小值
,故实数 的最小值为 ，故选 D
13.13 14.1 15.-8 16.
17. 解:（Ⅰ）∵ 由正弦定理得： ,……3 分
再由余弦定理知: 所以 ………………6 分
（Ⅱ）因为 ，由（1）知 ，所以 ， ……………… 7 分
又因为 成等比数列，所以 ，
因为数列 为等差数列，所以 ，………………………9 分
又因为公差 ，所以解得 ，所以数列 的通项公式
设 ，则数列 的通项公式 ，所以前 项和 ………… 10 分
………… 12 分
18.证明：（Ⅰ）取 A1C1 的中点 P，连接 AP，NP．
因为 C1N＝NB1，C1P＝PA1，所以 NP∥A1B1，NP＝1
2A1B1 ………………… 2 分
在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，A1B1∥AB，A1B1＝AB．故 NP∥AB，且 NP＝1
2AB．
因为 M 为 AB 的中点，所以 AM＝1
2AB．所以 NP＝AM，且 NP∥AM．
所以四边形 AMNP 为平行四边形．所以 MN∥AP． ……………… 4 分
因为 AP平面 AA1C1C，MN平面 AA1C1C，所以 MN∥平面 AA1C1C ……………… 6 分
（Ⅱ）因为 CA＝CB，M 为 AB 的中点，所以 CM⊥AB．
因为 CC1＝CB1，N 为 B1C1 的中点，所以 CN⊥B1C1． ………………………… 8 分
在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，BC∥B1C1，所以 CNBC．
因为平面 CC1B1B⊥平面 ABC，平面 CC1B1B∩平面 ABC＝BC．CN平面 CC1B1B，
所以 CN⊥平面 ABC，因为 AB平面 ABC，所以 CN⊥AB． ………………… 10 分
因为 CM平面 CMN，CN平面 CMN，CM∩CN＝C，
所以 AB⊥平面 CMN． ………………………………… 12 分
19．解:(Ⅰ)茎叶图
…………3 分
从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，
应选派乙同学代表班级参加比赛较好． ………………4 分
(Ⅱ)设事件 A 为：甲的成绩低于 12.8，事件 B 为：乙的成绩低于 12.8，
则甲、乙两人成绩至少有一个低于 12.8 秒的概率为
……………7 分
(Ⅲ)设甲同学的成绩为 ，乙同学的成绩为 ，则 ，
如图阴影部分面积即为 ………………10 分
所以，甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.8 秒的概率为 ………12 分
20．解：（Ⅰ）记椭圆 C 的半焦距为 c．由题意得，
解得 ………………… 4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆 C 的方程为x2
4 ＋y2＝1，圆 C1 的方程为 x2＋y2＝5．显然直线 l 的斜率存在．设直线 l 的方程为 y＝k，即 ……… 6 分
因直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，故方程组 （*）有且只有一组解．
由（*）得 .
从而 ．化简，得 ① ………… 8 分
因为直线 l 被圆 x2＋y2＝5 所截得的弦长为 2，
所以圆心到直线 l 的距离 ． 即 ② ………… 10 分
由①②，解得 因为 ，所以 ． …………… 12 分
21.解:(Ⅰ)由题 ………………2分
（1）当 时， ，所以 在 上递增 ……………3分
（2）当 时，由 得 ， 得
所以 在 上递减，在 上递增 ……………4分
（3）当 时，由 得 ， 得
所以 在 上递减，在 上递增 ……………5分
综上， 时， 在 上递增, 时， 在 上递减，在 上递
增, 时， 在 上递减，在 上递增 ……… ……6分
(Ⅱ)若 ，由 得
若 ，由 得
令 ，所以 在 上单调递减 ………8 分
又 （1）当 时， ，不符合题意；（2）当 时，由 得 ， 得
（3）所以 在 上递减，在 上递增所以 即 ………10分
（3）当 时，在 上，都有 所以 在 上递减，即在 上
也单调递减综上，实数 的取值范围为 ……………12分
22.解：证明：（1） 是圆 的切线， 是圆 的割线， 是 的中点，
， ，
又 ， ∽ ， ，即 ．
， ， ，
∽ …………………………5 分
(2) 即
∽ , …………………8 分
是圆 O 的切线,
即 ,所以四边形 是平行四边形. ………10 分
23.解：（Ⅰ）圆 的普通方程为 ，又 ,
所以圆 的极坐标方程为 …………………………5 分
（Ⅱ）设 ，则由 解得 ， ……………………7 分
设 ，则由 解得 ， ………9 分
所以 …………………………10 分
24.解:(1)由 得:……………3 分
解得
所以 的解集为 …………………5 分
（Ⅱ）
当且仅当 时，取等号． …………………………8 分
由不等式 对任意实数 恒成立，可得
解得： 或 ．故实数 的取值范围是 ………10 分
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