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2016年重庆一中高2016级高三下期高考模拟考试
数 学 试 题 卷(理科)2016.5
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合(为自然对数的底数)，则
（ ）
A． B． C． D．
2．若复数是纯虚数，则的值为( )
A． B． C． D．
3.设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.若为偶函数，且当时，，则不等式的解集
为（ ）
A. B. C. D.
5.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓，高1丈3尺，容纳米2000斛（1丈=10尺，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，），则圆柱底面周长约为（ ）
A．1丈3尺 B．5丈4尺 C．9丈2尺 D．48丈6尺
A
B
C
O
6．设点是边长为1的正的中心（如图所示），则＝（ ）
A. B. C. D.
7.
现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为( )
A. B. C. D.
8.设实数，满足约束条件，已知的最大值是，最小值是，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
9．把周长为1的圆的圆心放在轴，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的大致图像为（ ）
10．一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
11.已知是双曲线的右焦点，是双曲线的中心，直线是双曲线的一条渐近线，以线段为边作正三角形，若点在双曲线上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
12.设函数有两个极值点，若点为坐标原点，点在圆上运动时，则函数图象的切线斜率的最大值为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.已知函数是奇函数，则 。
14．在二项式的展开式中，前3项的二项式系数之和等于79，则展开式中的系数为 。
15.已知直线和直线分别与圆相交于和，则四边形的内切圆的面积为 。
16.在平面四边形中，，则的最大值为
__ 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知数列中，，其前项和为，且当时，。
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，求。
18.(本小题满分12分)某班级举办知识竞赛活动，现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：
（Ⅰ）填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案)；
（Ⅱ）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次口答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对1道，则获得二等奖。某同学进入决赛，每道题答对的概率的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同。
（1）求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；
（2）设该同学答题个数为，求的分布列及的数学期望。
序号
分组（分数段）
频数（人数）
频率
1
8
0.16
2
22
3
14
0.28
4
合计
1
结束
输出三棱锥的高
开始
输入
（第18题图）
19.(本小题满分12分) 某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，
工人将如图所示的长方体材料切割成三棱锥。
（Ⅰ）若点分别是棱的中点，点是上的任意一点，
求证：；
（Ⅱ）已知原长方体材料中，，，，根据艺术品加工
需要，工程师必须求出该三棱锥的高；
(i) 甲工程师先求出所在直线与平面所成的角，再根据公式
求出三棱锥的高.请你根据甲工程师的思路，
求该三棱锥的高；
（ii）乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如右图所示，则运行
该程序时乙工程师应输入的的值是多少？
（请直接写出的值，不要求写出演算或推证的过程）
输出三棱锥的高
结束
(第19题图)
20.(本小题满分12分)已知三点，曲线上任意一点满足：
。
（1）求曲线的方程；
（2）动点在曲线上，曲线在点处的切线为，问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比为常数？若存在，求及常数的值；若不存在，说明理由。
21.(本小题满分12分)已知函数，（其中），且函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线重合。
（1）求实数的值；
（2）记函数，是否存在最小的正常数，使得当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性。
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
A
B
C
D
O
E
F
如图，已知，圆是的外接圆，，是圆的直径．过点作圆的切线交的延长线于点。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若,，求的面积。
23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左
焦点在直线上。
（Ⅰ）若直线与曲线交于两点，求的值；
（Ⅱ）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值。
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式证明选讲
已知函数。
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的范围。
命题人：谢 凯 审题人：王明 黄勇庆
2016年重庆一中高2016级高三下期高考模拟考试
数 学 答 案(理科)2016.5
一.选择题.(每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
B
A
B
C
C
D
D
A
A
D
二.填空题.(每小题5分,共20分)
13. 14. 15. 16.
三.解答题.
17.（1）当时，，
，又由，可推知对一切正整数均有，
则数列是等比数列， （4分）
当时，，又 （6分）
（2）当时，
，又，，（8分）
则
当时，，（10分）
则
综上： （12分）
18.（Ⅰ）①；；； （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 （5分）
（1） （7分）
（2）该同学答题个数为2，3，4，即
，
（10分）
分布列为
2
3
4
0.16
0.192
0.648
（12分）
19.（Ⅰ）证法一：∵，
∴.,
∴∥平面， 同理可证∥平面,
∵,且，
∴， 又面 （4分）
证法二：连并延长交于，连接.∵，∴,则，又∵，∴， 面 （4分）
（Ⅱ）(i)如图，分别以所在直线为建立空间直角坐标系.则有，.
（5分）
设平面的一个法向量，
则有，解得,令，则 , （7分）
∴, （9分）
∴三棱锥的高为. （10分）
（ii）. （12分）
20．解:(1)依题意可得,
,
由已知得,化简得曲线的方程: （4分）
(2)假设存在点满足条件,则直线的方程是,直线的方程是
,曲线在点处的切线的方程为它与y轴的交点为,由于,因此
①当时, ,存在,使得,即与直线平行,故当时不符合题意 （5分）
②当时,,所以与直线一定相交,分别联立方程组,
解得横坐标分别是
则,又,
有, （8分）
又 （9分）
于是 （10分）
对任意,要使与的面积之比是常数,只需满足
, 解得，此时与的面积之比为2,故存在，使与的面积之比是常数2. （12分）
21解：（1）∵，∴，则在点处切线的斜率，切点，则在点处切线方程为，（2分）
又，∴，则在点处切线的斜率，切点，则在点处切线方程为， （2分）
由解得, （5分）
（2）， （7分）
构造函数，则问题就是求恒成立。
，令，则
，显然是减函数，又，所以在上是增函数，在上是减函数，而，
，
所以函数在区间和上各有一个零点，令为和
，并且有在区间和上，，即；在区间上，，即。从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增。，当时，；当时，. （10分）
还有是函数的极大值，也是最大值。题目要找的，理由：
当时，对于任意非零正数，而在上单调递减，所以
一定恒成立，即题目要求的不等式恒成立；
当时，取，显然，题目要求的不等式不恒成立，说明不能比小；
综合可知，题目所要求的最小的正常数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立。（12分）
A
B
C
D
O
E
F
22．选修4—1：几何证明选讲
解析：（Ⅰ）连接AE，∵CE是直径，∴，又，
∴，∵
，故∴，
∴ 又，∴ （5分）
（Ⅱ）是的切线，在和中，，，，
设，则根据切割线定理有
，， .（10分）
23..解：(I)直线的参数方程是（），（2分）
代入椭圆方程得， 所以=2. （5分）
(Ⅱ)设椭圆的内接矩形的顶点为，，，
所以椭圆的内接矩形的周长为= （9分）
当时，即时椭圆的内接矩形的周长取得最大值16. （10分）
24.解：（1）解集为 （5分）
（2）的解集包含即不等式在内恒成立，即在内恒成立，（7分）
即在内恒成立，得，则 （10分）
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