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2016年普通高等学校招生全国统一考试
文 科 数 学
(银川一中第三次模拟考试)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．集合，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
2．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，则向量在方向上的投影为
A． B． C． D．3
4．两个相关变量满足如下关系：
x
2
3
4
5
6
y
25
●
50
56
64
根据表格得回归方程：，表中有一数据模糊不清，推算该数据是
A．37 B．38．5 C．39 D．40．5
x
－2
y
O
2
5．已知函数的图象（部分）如图所示，则的解析式是
A．
B．
C．
D．
6．已知点在所包围的阴影区域内（包括边界），
若有且仅有是使得取得最大值的最优
解，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
7．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个侧（左）视图
4
2
1
俯视图
2
正（主）视图
半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是
A．
B．
C．
D．
8．执行如图所示的程序框图，输出，
那么判断框内应填（ ）
A． B．
C． D．
9．已知圆和两坐标轴的公
共点分别为，，，则的面积为
A． B． C． D．
10．已知，则
A． B． C． D．
11．已知抛物线，圆，过点作直线，
自上而下顺次与上述两曲线交于点（如图所示），
则的值正确的是
A．等于 B．最小值是
C．等于 D．最大值是
12．已知对任意，都有，且当时，，若函数在区间上有2个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．函数，则 ．
14．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线倾斜角为，
则双曲线的离心率为 ．
15．三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，，，，则这个球的表面积为 ．
16．已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：
①；②；③；④数列中的最大项为；⑤ ．
其中正确命题的是 ．
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）
在△，角的对边分别为已知
（1）求的值；
（2）若求△的面积.
18．（本小题满分12分）
O
体育成绩
45 55 65 75 85 95
u
14
2
u
u
u
u
u
u
u
u
u
4
12
10
6
8
各分数段人数
某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.
（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；
（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；
（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三组中，其中．当数据的方差最大时，写出的值.（结论不要求证明）
（注:，其中为数据的平均数）
19．（本小题满分12分）
在下图所示的几何体中，底面为正方形，⊥平
面，，且，为线段
的中点．
(1)证明：NE⊥PB；
(2)求四棱锥的体积．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线与椭圆交于P,Q两点，P点位
于第一象限，A,B是椭圆上位于直线两侧的
动点.当点A,B运动时，满足，
问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）若函数在点处的切线方程是，求实数及的值；
（2）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22．（本小题满分10分） 选修4 - 1：几何证明选讲
如图，EF是⊙O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、
BM分别交⊙O于点C、D。设⊙O的半径是r，OM = m.
（1）证明：；
（2）若r = 3m，求的值.
23．（本小题满分10分） 选修4 - 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y = 8，圆C的参数方程是（φ为参数）。以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）射线OM：θ = α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M
，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值.
24．（本小题满分10分） 选修4 - 5：不等式选讲
已知函数，不等式的解集为.
（1）求实数m的值；
（2）若关于x的不等式
银川一中2016届高三第一次模拟考试数学(文科)参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
C
A
A
B
A
D
C
C
C
二．填空题
13. 14. 2or 15. 64 16. ①②⑤
三．解答题
17. 【解析】（1）因为，，所以．
因为，
所以，…………2分
由题意，所以，
所以．……………………………………………………………………6分
（2）由（1）知，所以，．
由正弦定理得，所以 …………………………8分
又，
所以．………………………………………12分
18.（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人，
所以该校高一年级学生中， “体育良好”的学生人数大约有人.
（Ⅱ）解：设 “至少有1人体育成绩在”为事件，
记体育成绩在的数据为，， 体育成绩在的数据为，，，
则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种， 它们是：，，
，， ，，，，，.
而事件的结果有7种，它们是：，，，， ，，，
因此事件的概率.
（Ⅲ）解： a，b，c的值分别是为，，.
19．解：（I）连接AC，BD．令AC交BD于F．连接NF
∵四边形ABCD是正方形，∴F为BD的中点．
∵N为PB的中点．∴且．……2分
又∵EC∥PD且，∴NF∥EC且NF=EC．∴四边形NFCE为平行四边形．
∴NE∥FC，即NE∥AC．又∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥AC．
∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵，平面，平面，∴⊥平面．∵NE∥AC，∴NE⊥平面．∴NE⊥PB． …6分
（II）∵PD⊥平面ABCD，平面PDCE，∴平面PDCE⊥平面ABCD．∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面ABCD=CD，且BC平面ABCD，∴BC⊥平面PDCE．∴BC是四棱锥B－PDCE的高。………9分
∵，四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=2，EC=1．∵，………11分
∴四棱锥B－CEPD的体积．…12分
20．
21. 解：（1） 由得，…………………1分
∴，，. …………………………………2分
∵函数在点处的切线方程是，
∴即 …………………………3分
（2）由得，∴，
∴.
当即时，对一切恒成立，
∴在内单调递增，
∴在上的最小值是； …………………………………4分
（ⅱ）当即时，令，得，从而有
① 当即时，列表如下：
依表格知在上的最小值是； ………………………………5分
② 当即时，列表如下：
1
依表格知在上的最小值是；………………7分
③ 当即时，列表如下：
依表格知在上的最小值是. …………………………8分
综上所述：
当时，在上的最小值是；
当时，在上的最小值是；
当时，在上的最小值是. ……………………………9分
22. 解：（Ⅰ）作交于点，作交于点.
因为，，
所以.
从而.
故 ……5分
（Ⅱ）因为，，
所以.
因为
所以.
又因为，所以． …………….10分
23.解：（Ⅰ）直线的极坐标方程分别是.
圆的普通方程分别是，
所以圆的极坐标方程分别是. …….5分
（Ⅱ）依题意得，点的极坐标分别为和
所以，，
从而.
同理， .
所以，
故当时，的值最大，该最大值是. …10分
24.解 ：（Ⅰ）由已知得，得，即 …… 5分
（Ⅱ）得恒成立
（当且仅当时取到等号）
解得或
故的取值范围为 或 …… 10分
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