绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
(银川一中第三次模拟考试)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．集合，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
2．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，则向量在方向上的投影为
A． B． C． D．3
x
－2
y
O
2
4．已知函数的图象（部分）如图所示，则的解析式是
A．
B．
C．
D．
5．已知点在所包围的阴影区域内（包括边界），
若有且仅有是使得取得最大值的最优
解，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
6．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一侧（左）视图
4
2
1
俯视图
2
正（主）视图
个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是
A．
B．
C．
D．
7．执行如图所示的程序框图，输出，
那么判断框内应填（ ）
A． B．
C． D．
8．已知圆和两坐标轴的公
共点分别为，，，则的面积为
A． B． C． D．
9．已知，则
A． B． C． D．
10．下列四个命题中，正确的有
①两个变量间的相关系数越小，说明两变量间的线性相关程度越低；
②命题“，使得”的否定是:“对， 均有” ；
③命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件；
④若函数在有极值，
则或.
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个
11．已知抛物线，圆，过点作直线，
自上而下顺次与上述两曲线交于点（如图所示），
则的值正确的是
A．等于 B．最小值是
C．等于 D．最大值是
12．已知定义在R上的奇函数的图象为一条连续不断的曲线，，，且当0 < x < 1时，的导函数满足：，则在上的最大值为
A．a B．0 C．-a D．2016
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．函数，则 ．
14．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线倾斜角为，
则双曲线的离心率为 ．
15．三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，，
，，则这个球的表面积为 ．
16．已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：
①；②；③；④数列中的最大项为；⑤．
其中正确命题的是 ．
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）
在△，角的对边分别为已知
（1）求的值；
（2）若求△的面积.
18．（本小题满分12分）
从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：
上一年的
出险次数
0
1
2
3
4
5次以上
（含5次）
下一年
保费倍率
85%
100%
125%
150%
175%
200%
连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折
经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据（其中（万元）表示购车价格，（元）表示商业车险保费）：、、、、、、、，设由这8组数据得到的回归直线方程为：．
（1）求；
(2) 有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000 辆调查,得到一年中出险次数的频数分布如下(并用相应频率估计车辆2016 年度出险次数的概率):
广东李先生2016 年1月购买一辆价值20 万元的新车.根据以上信息,试估计该车辆在2017 年1月续保时应缴交的保费(精确到元),并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担.(假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）
19．（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD中，∠ABC = 60°，AC与BD相交于点O，
AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB = AE = 2.
（1）求证：BD⊥平面ACFE；
（2）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求CF的长度.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线与椭圆交于P,Q两点，P点位于第
一象限，A,B是椭圆上位于直线两侧的动点.当点
A,B运动时，满足，问直线AB的斜
率是否为定值，请说明理由.
21．（本小题满分12分）
设函数
（1）令（），若的图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；
（2）若方程有唯一实数解，求正数的值．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22．（本小题满分10分） 选修4 - 1：几何证明选讲
如图，EF是⊙O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、
BM分别交⊙O于点C、D。设⊙O的半径是r，OM = m.
（1）证明：；
（2）若r = 3m，求的值.
23．（本小题满分10分） 选修4 - 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y = 8，圆C的参数方程是（φ为参数）。以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）射线OM：θ = α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值.
24．（本小题满分10分） 选修4 - 5：不等式选讲
已知函数，不等式的解集为.
（1）求实数m的值；
（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
银川一中2016届高三第一次模拟考试数学(理科)参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
A
A
B
A
D
C
A
C
C
二．填空题
13. 14. 2or 15. 64 16. ①②⑤
三．解答题
17. 【解析】（1）因为，，所以．
因为，
所以，…………2分
由题意，所以，
所以．……………………………………………………………………6分
（2）由（1）知，所以，．
由正弦定理得，所以 …………………………8分
又，
所以．………………………………………12分
18.【解析】（1）万元，
元，
直线经过样本中心，即．
∴．
(Ⅱ)设该车辆2017 年的保费倍率为X ,则X 为随机变量,
X 的取值为0.85 ,1,1.25 ,1.5 ,1.75 , 2 . ………7 分
且 X 的分布列为
计算得下一年保费的期望倍率为
EX＝0.85×0.5＋1×0.38+ 1.25×0.1 +1.5×0.015 +1.75×0.004 + 2×0.001 = 0.9615 … 10 分
该车辆估计2017年应缴保费为:(1 17.8× 20 +1055) × 0.9615 = 3279.677 3280 元. … 11 分
因0.96 < 1 (或3280 < 3411 ),基于以上数据可知,车险新政总体上减轻了车主负担.… 12 分
19（Ⅰ）证明：四边形是菱形，
.
平面,平面
.
,
平面.………….4分
（Ⅱ）解：如图以为原点，为轴正向，轴过且平行于，建立空间直角坐标系.则
， .…………6分
设平面的法向量为，
则有，即令， .…………8分
由题意解得或.
由，得 . …….12分
20．
21..解：
22. 解：（Ⅰ）作交于点，作交于点.
因为，，
所以.
从而.
故 ……5分
（Ⅱ）因为，，
所以.
因为
所以.
又因为，所以． …………….10分
23.解：（Ⅰ）直线的极坐标方程分别是.
圆的普通方程分别是，
所以圆的极坐标方程分别是. …….5分
（Ⅱ）依题意得，点的极坐标分别为和
所以，，
从而.
同理， .
所以，
故当时，的值最大，该最大值是. …10分
24.解 ：（Ⅰ）由已知得，得，即 …… 5分
（Ⅱ）得恒成立
（当且仅当时取到等号）
解得或
故的取值范围为 或 …… 10分
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