丰城中学2015-2016学年下学期高二周考数学试卷
命题人：熊健 审题人:邓云 5.21
一． 选择题（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.命题“若”的逆否命题是（ ）
A．若 B．
C．若 D．
2.命题，若是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3. 在极坐标系中，直线被曲线截得的线段长为
（A） （B） （C） （D）
4.如图所示的程序框图，若输出的S=31，则判断框内填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
5.从某小学随机抽取200名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取36人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为( )．
A．3 B．6 C．9 D．12
6.袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”和“没有黑球” B．“至少有一个白球”和“至少有一个红球”
C．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”
D．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”
7.利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下图，读出的第3个数是（ ）[来源:Zxxk.Com][来源:Z。xx。k.Com]
A．584 B．114 C．311 D．160
8. 的展开式中的系数等于（ ）
(A)-48 (B)48 (C)234 (D)432
9.假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（ ）
A． B． C． D．
10.已知是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．4 B． C． D．
11. 已知的导函数为.若，且当时，，则不等式的解集是（ ）
(A) (B) (C) (D)
12.已知是抛物线的焦点，直线与该抛物线交于第一象限内的两点A，B，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 ．
14.椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为 ．
15.下列命题：①命题“”的否命题为“”；②命题“”的否定是“” ③对于常数，“”
是“方程表示的曲线是双曲线”的充要条件；④“”是“”的必要不充分条件；⑤已知向量不共面，则向量可以与向量和向量构成空间向量的一个基底．其中说法正确的有 （写出所有真命题的编号）．
16.设定义域为的单调函数，对任意的，，若是方程的一个解，且，则实数 ．
三、解答题
17.(本小题满分10分) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）若为曲线，的公共点，求直线的斜率；
（Ⅱ）若分别为曲线，上的动点，当取最大值时，求的面积.
18.(本小题满分12分) 某厂采用新技术改造后生产甲产品的产量x(吨)与相应的生产成本y(万元)的几组对照数据.[来源:学科网ZXXK]
x
3
4
5
6
y
3
3.5
4.5
5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)已知该厂技改前生产50吨甲产品的生产成本为40万元．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产50吨甲产品的生产成本比技改前降低多少万元？
(参考数据： ，)
19. 已知函数.
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若存在满足，求的取值范围.
20(本小题满分12分) 如图：四棱锥中，底面是平行四边形，且，，，，点是的中点，点在边上移动．（1）证明：当点在边上移动时，总有；
（2）当等于何值时，与平面所成角的大小为45°．
21.(本小题满分12分) 已知中心在原点，焦点在轴的椭圆过点，且焦距为2，过点分别作斜率为的椭圆的动弦，设分别为线段的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当，直线是否恒过定点？如果是，求出定点坐标．如果不是，说明理由.
22.(本小题满分12分) 设函数
（1）求函数的最小值；（2）设，讨论函数的单调性；
（3）在第二问的基础上，若方程，()有两个不相等的实数根，求证：.
参考答案
DCDAB CCBCB BA
11. 第12题 令，则由，可得，故为偶函数，又当时，即，所以在上为增函数.不等式可化为，所以有，解得.
③⑤ 16。【答案】2
17．（Ⅰ）消去参数得曲线的普通方程. ……（1） 1分
将曲线化为直角坐标方程得.……（2）3分
由得，即为直线的方程，故直线的斜率为. ……5分
注：也可先解出…1分，再求的斜率为. …1分
（Ⅱ）由知曲线是以为圆心，半径为1的圆；
由知曲线是以为圆心，半径为2的圆.
…………6分
因为，
所以当取最大值时，圆心在直线上，
所以直线（即直线）的方程为：. ………7分
因为到直线的距离为， …………8分
又此时， …………9分
所以的面积为.……10分
18．【答案】（1）略（2）（3）4.15（万元）
19．（Ⅰ）当时，.
由得.
当时，不等式等价于，解得，所以； ………1分
当时，不等式等价于，即，所以；………2分
当时，不等式等价于，解得，所以.……3分
所以原不等式的解集为或. …………5分
2..…7分
因为原命题等价于， …9分
所以，所以为所求实数的取值范围. 10
20．
（2）求出=（，0，﹣1），设平面PDE的一个法向量为
则，得 ………………7分
∵PA与平面PDE所成角的大小为45°，=（0，0，1）
∴sin45°==，得= ………………9分
解之得x=或x= ∵BE=x， ………………11分
∴BE=，即当CE等于时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．…12分
21．【答案】（1）（2）（0，）
（2）求出直线的方程，利用根与系数的关系以及探究直线过哪个定点.
试题解析：（1）由题意知设右焦点
………………2分
椭圆方程为 ………………4分
（2）由题意，设
直线，即 代入椭圆方程并化简得
………………5分
………………7分
同理 ………………8分
当时， 直线的斜率 ………………9分
22．【答案】（1）（2）单调增区间为，单调减区间为（
（3）本题可以采用分析法来进行证明，一步步的往上推导出一个很容易证明或者是公理的式子再进行证明即可得到所求答案.
试题解析：f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，得．……………2分
（3）证明：因为x1、x2是方程F（x）=m的两个不等实根，由（1）知a＞0．
不妨设0＜x1＜x2，则﹣（a﹣2）x1﹣alnx1=c，﹣（a﹣2）x2﹣alnx2=c．
两式相减得﹣（a﹣2）x1﹣alnx1﹣+（a﹣2）•x2+alnx2=0，
即+2x1﹣﹣2x2=ax1+alnx1﹣ax2﹣alnx2=a（x1+lnx1﹣x2﹣lnx2）．
所以a=．因为F′=0，
即证明x1+x2＞，
即证明﹣+（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）＜+2x1﹣﹣2x2，
即证明ln ＜．设t=（0＜t＜1）．
令g（t）=lnt﹣，则g′（t）=．
因为t＞0，所以g′（t）≥0，当且仅当t=1时，g′（t）=0，所以g（t）在（0，+∞）上是增函数．
又g（1）=0，所以当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立．所以原题得证 ………12分
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