2015-2016第二学期高三联考数学（文科）试题
一、选择题：(每小题5分，共60分)．
1．复数（其中i为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B ． C ． D．
2．已知集合，则满足的集合可以是（ ）
A． B． C． D．
3.各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则的值 为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4、已知平面向量，则的值为
A． B． C． D．1
5．不等式组表示的平面区域内的点都在圆内，则的最小值是( )
A B C 1 D
6．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，
其中A，B两点之间的距离为5，那么f（2016）=（ ）
A． B．﹣ C．-1 D．1
第6题图
7. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
（A） （B） （C）14 （D）15
8、在棱长为3的正方体中，P在线段BD上，且，M为线段上的动点，则三棱锥的体积为（ ）
A．1 B． C． D．与M点的位置有关
9．已知抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|=2，则直线AF的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
10.已知点分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．4 C． D．
11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则
一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一
周回到起点，其最短路径为
A．4＋ B．6
C．4＋ D．6
12．设函数对任意的满足,当时,有-5．若函数在区间上有零点,则k的值为
A．-3或7 B．-4或7 C．-4或6 D．-3或6
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知数列满足，则数列的通项公式_________
14.若直线经过曲线的对称中心，则的最小值为
15. 已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，
，则多面体的外接球的表面积为 .
16．已知函数，若存在，∈[0，1]，使得成立，则实数a的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过小时收费 元，超过小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过小时．
(1)若甲停车小时以上且不超过小时的概率为，停车付费多于元的概率为，求甲停车付费恰为元的概率；
(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为元的概率．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 =
（1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．
19.如图，三棱柱中，平面，分别为的中点，点在棱上，且.
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在一个点，使得平面将三棱柱分割成的两部分体积之比为，若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.
20. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点，以线段为邻边作平行
四边形，其中点在椭圆上，为坐标原点．求点到直线的距
x
y
o
离的最小值．
21. 已知函数 .
（1）当时，求的单调区间；
（2）若时，恒成立，求的取值范围．
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点,，交的延长线于点,交于点．
（Ⅰ）求证：是圆的切线；
（Ⅱ）若，求的值．
23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线上求一点，使它到直线的距离最短．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）若不等式有解，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，且，证明：．
2015-2016第二学期高三联考数学（文科）答卷
一．选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．_____________ 14 ______________ 15 _______________ 16 _______________
三．解答题（本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分12分)
18(本小题满分12分)
19. (本小题满分12分)
x
y
o
20. (本小题满分12分)
21. (本小题满分12分)
22（或23或24）（本小题满分10分）
2015-2016第二学期高三联考数学（文科）参考答案
一．选择题 （每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
C
A
D
A
B
D
C
D
D
二 填空题 （每小题5分，共20分）
13. 14 15 16
三 解答题
17. (本小题满分12分)
（1）解：设“甲临时停车付费恰为元”为事件，
则 ．
所以甲临时停车付费恰为元的概率是． 4分
（2）解：设甲停车付费元，乙停车付费元，其中． 6分
则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：
，共种情形． 10分
其中，这种情形符合题意．
故“甲、乙二人停车付费之和为元”的概率为． 12分
18. (本小题满分12分)
（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，
∴由正弦定理化简已知等式得： =，
整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，
即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosC=﹣，
∵C为三角形内角，∴C=； ………….. 6分
（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，
∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，
∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），
∵S=absinC=ab≤，
∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，
则当a=b=时，△ABC的面积最大为． …………12分
19. (本小题满分12分)
（Ⅰ）证明：取的中点M，为的中点，
又为的中点，
在三棱柱中，分别为的中点，
,
为平行四边形，
平面，平面 平面 ………6分
（Ⅱ）设上存在一点,使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1︰15，
则
， ，
所以符合要求的点不存在 …………….12分
20. (本小题满分12分) ．
⑴由已知设椭圆的方程为，则．…………1分
由，得． ∴椭圆的方程为……4分
⑵当直线斜率存在时，设直线方程为．
则由消去得．
．①
设点的坐标分别是．
∵四边形为平行四边形，∴．
．……6分
由于点在椭圆上，∴．
从而，化简得，经检验满足①式．………8分
又点到直线的距离为．…10分
当且仅当时等号成立．
当直线斜率不存在时，由对称性知，点一定在轴上．
从而点的坐标为或，直线的方程为，∴点到直线的距离为．
∴点到直线的距离的最小值为．………………………………12分
21. (本小题满分12分)
（1）当时，，， ………1分
令，则，解得：，
令，则，解得：， ……3分
所以，函数的单调增区间为，
单调减区间为． …….4分
（2）由函数，
则，
令，则． ……6分
由，所以，
①当时，，为增函数，而，
所以，即，所以在上为增函数，
而，所以在上恒成立． …………9分
②当时，令，即，则．
即在上为减函数，而，所以，在上小于0．
即，所以在上为减函数，而，故此时，不合题意．
综上，． … ……12分
22（或23或24）(本小题满分10分)
22．解析：（Ⅰ）连接，可得，
..............3分
又，∴，又为半径，∴是圆的切线；
........5分
（Ⅱ）过作于点，连接，则有，
...............7分
设，则，
∴ ...............8分
由可得，又由， 可得． ...............10分
23．解析：（Ⅰ）由，，可得， ..........1分
所以曲线的普通方程为
（或）， .........3分
因为直线的参数方程为（为参数，），
消去得直线的普通方程为； ..........5分
（Ⅱ）因为曲线是以为圆心，1为半径的圆，
因为点在曲线上，所以可设点， .......7分
所以点到直线的距离为， ........8分
因为，所以当时，， .........9分
此时点的坐标为． ........10分
24．解析：（Ⅰ）因为，
当且仅当时等号成立，
所以，解得； ...........5分
（Ⅱ）证明：要证，即证，
只需证，
即证，
又，，
所以，
所以，
故原不等式成立． ..........10分
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