湖南师大附中2019届高三数学摸底考试试卷(理科附答案)
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资料简介
炎德·英才大联考湖南师大附中 2018 年春季高二期末考试暨 2019 届高三摸底考试 数 学(理科) 命题:贺仁亮 朱修龙 周艳军 刘伟才 审题:高二数学备课组 时量:120 分钟 满分:150 分 得分:______________ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z 满足(2+i)z=2-i(i 为虚数单位),则 z 等于 A.3+4i B.3-4i C.3 5 +4 5i D.3 5 -4 5i 2.已知 P={x|x2-5x+4<0},Q={x|y= 4-2x},则 P∩Q 等于 A.(1,4) B.[2,4) C.(1,2] D.(-∞,2] 3.已知两组样本数据{x1,x2,…,xn}、{y1,y2,…,ym}的平均数分别为 h 和 k,则把 两组数据合并成一组以后,这组样本的平均数为 A.h+k 2 B.nh+mk m+n C.mh+nk m+n D.h+k m+n 4.已知{an}为等比数列,a1>0,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a4+a7+a10 等于 A.-7 B.-5 C.5 D.7 5.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形 ABCD 为正方形,E,F 分别为 PA,PD 的中点,在此几何体中,给出下面 4 个结论: ①直线 BE 与直线 CF 异面; ②直线 BE 与直线 AF 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD. 其中正确的有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6.已知双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)以及双曲线y2 a2 -x2 b2 =1(a>0,b>0)的渐近线将第一象限三等分,则双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为 A.2 或2 3 3 B. 6或2 3 3 C.2 或 3 D. 3或 6 7.函数 f(x)=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π 6 个单位后关于 y 轴对称,则φ的值是 A.0 B.π 6 C.π 3 D.5π 6 8.在正三角形 ABC 内任取一点 P,则点 P 到 A,B,C 的距离都大于该三角形边长一半 的概率为 A.1- 3π 6 B.1- 3π 12 C.1- 3π 9 D.1- 3π 18 9.底面是边长为 1 的正方形,侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为 A.2 2π 3 B. 3π 3 C.2 3π 3 D. 2π 3 10.在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与 直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为 A.4π 5 B.3π 4 C.(6-2 5)π D.5π 4 11.已知函数 f(x)= ex,x≤0, x2+ax+1,x>0,F(x)=f(x)-x-1,且函数 F(x)有 2 个零点,则实 数 a 的取值范围为 A.(-∞,0] B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(0,+∞) 12.已知[x)表示大于 x 的最小整数,例如[3)=4,[-1.3)=-1,下列命题中正确的是 ①函数 f(x)=[x)-x 的值域是(0,1]; ②若{an}是等差数列,则{[an)}也是等差数列; ③若{an}是等比数列,则{[an)}也是等比数列; ④若 x∈(1,2 018),则方程[x)-x=1 2 有 2 017 个根. A.②④ B.③④ C.①③ D.①④ 选择题答题卡 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得 分 答 案 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 13.从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名参加体能测试,则恰有 1 名男同学参加体能 测试的概率为________.(结果用最简分数表示) 14.《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆堡壔, 周四丈八尺,高一丈一尺,问积几何?答曰:二千一百一十二.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡壔就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.” 就是说:圆堡壔(圆柱体)的体积 V= 1 12 ×(底面的圆周长的平方×高),则该问题中圆周率π的 取值为________.(注:一丈=10 尺) 15. 1+ 1 x2 (1+x)6 展开式中 x2 的系数为________.(结果用数字表示) 16.如图 2,“六芒星”由两个全等的正三角形组成,中心重合于点 O 且三组对边分别平 行.点 A,B 是“六芒星”(如图 1)的两个顶点,动点 P 在“六芒星”上(内部以及边界),若OP→ =xOA→ +yOB→ ,则 x+y 的最大值是________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 11 分) 如图,△ABC 是等边三角形,D 是 BC 边上的动点(含端点),记∠BAD=α,∠ADC=β. (1)求 2cos α-cos β的最大值; (2)若 BD=1,cos β=1 7 ,求△ABD 的面积.18.(本小题满分 11 分) 已知正项等比数列{an}的公比为 q,且 a3+a4+a5= 7 16 ,3a5 是 a3,a4 的等差中项.数列{bn} 满足 b1=1,数列{(bn+1-bn)·an}的前 n 项和为 2n2+n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的通项公式.19.(本小题满分 12 分) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其中正视图为矩形,侧视图为等腰直角三 角形,俯视图为直角梯形. (1)设Μ为ΑΒ中点,若BP→=1 3PC→.求证:ΜΡ∥平面 CΝΒ1; (2)设二面角Β-CΒ1-Ν大小为θ,求 sin θ的值.20.(本小题满分 12 分) 某卫生监督检查部门对 5 家餐饮店进行卫生检查,若检查不合格,则必须整改.若整改 后经复查仍不合格,则强制关闭.设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的,且每家餐饮店 整改前合格的概率是 0.5,整改后复查合格的概率是 0.8.计算: (1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率; (2)平均有多少家餐饮店必须整改; (3)至少关闭一家餐饮店的概率.(精确到 0.01)21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0),其焦点为 F1,F2,离心率为 2 2 ,若点 P 2 2 , 3 2 满足|PF1| +|PF2|=2a. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆 C 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,△AOB 的重 心 G 满足:F1G→ ·F2G→ =-5 9 ,求实数 m 的取值范围.22.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=ln(x+a)+x2. (1)若 f(x)为定义域上的单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 g(x)=ex+x2-f(x),当 a≤2 时,证明:g(x)>0.炎德·英才大联考湖南师大附中 2018 年春季高二期末考试暨 2019 届高三摸底考试 数学(理科)参考答案 一、选择题 1.D 【解析】由(2+i)z=2-i,得 z=2-i 2+i =(2-i)(2-i) (2+i)(2-i) =3 5 -4 5i,故选 D. 2.C 【解析】解 x2-5x+4<0,即(x-1)(x-4)<0,得 1<x<4,故 P=(1,4).Q 表 示函数 y= 4-2x的定义域,所以 4-2x≥0,所以 x∈(-∞,2],即 Q=(-∞,2].故 P∩Q =(1,2].故选 C. 3.B 【解析】因为样本数据{x1,x2,…,xn}的平均数为 h,{y1,y2,…,ym}的平均数 为 k,所以第一组数据和为 nh,第二组数据和为 mk,因此把两组数据合并成一组以后,这组 样本的平均数为nh+mk m+n ,故选 B. 4.B 【解析】由等比数列的性质可得 a5a6=a4a7=-8,又 a4+a7=2,解得 a4=-2, a7=4 或 a7=-2,a4=4,因为 a7=a1q6>0,所以 a4=-2,a7=4,a7=a4q3=-2q3=4,所以 q3=-2,所以 a1=a4 q3 =1,a10=a7q3=-8,所以 a1+a4+a7+a10=-5,故选 B. 5.B 【解析】将展开图还原为几何体(如图),因为 E,F 分别为 PA,PD 的中点,所以 EF∥AD∥BC,即直线 BE 与 CF 共面,①错;因为 B∉平面 PAD,E∈平面 PAD,E∉AF,所以 BE 与 AF 是异面直线,②正确;因为 EF∥AD∥BC,EF平面 PBC,BC平面 PBC,所以 EF∥平面 PBC,③正确;平面 PAD 与平面 BCE 不一定垂直,④错.故选 B. 6.A 【解析】由题意可知,双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的渐近线的倾斜角为 30°或 60°,则 k=b a ,∴k= 3或 3 3 ,则 e=c a ,∴e= c2 a2 = a2+b2 a2 = 1+b2 a2 =2 或2 3 3 . 7.D 【解析】f(x)=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π 6 个单位后得到的函数是 g(x)= sin 2x-π 3 +φ ,又 g(0)=sin -π 3 +φ =±1,得φ-π 3 =kπ+π 2 (k∈Z),∴φ=kπ+5π 6 (k∈Z), 故选 D. 8.A 【解析】满足条件的正三角形 ABC 如图所示:设边长为 2,其中正三角形 ABC 的 面积 S△ABC= 3 4 ×4= 3.满足到正三角形 ABC 的顶点 A,B,C 的距离至少有一个小于 1 的平 面区域如图中阴影部分所示,其加起来是一个半径为 1 的半圆,则 S 阴影=1 2 π,则使取到的点 到三个顶点 A,B,C 的距离大于 1 的概率 P=1- 3π 6 ,故选 A. 9.D 【解析】设四棱锥为 P-ABCD,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,PA=PB=PC=PD=1 的外接球的半径为 R,过 P 作 PO1⊥底面 ABCD,垂足 O1 为正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 的交点,设球心为 O,连接 AO,由于 AO=PO=R,AO1=PO1= 2 2 ,OO1= 2 2 -R, 在 Rt△AOO1 中, 2 2 -R 2 + 2 2 2 =R2,解得 R= 2 2 ,V 球=4 3 πR3=4 3 π 2 2 3 = 2π 3 . 10.A 【解析】设直线 l:2x+y-4=0.因为|OC|=1 2|AB|=d1,其中 d1 为点 C 到直线 l 的距离,所以圆心 C 的轨迹为以 O 为焦点,l 为准线的抛物线.圆 C 半径最小值为 1 2d2=1 2 × 4 5 = 2 5 ,其中 d2 为点 O 到直线 l 的距离,圆 C 面积的最小值为π 2 5 2 =4π 5 .故选 A. 11.B 【解析】因为 F(x)=f(x)-x-1,且函数 F(x)有 2 个零点,即 f(x)-x-1=0 有 2 个实数根,所以当 x≤0 时,令 ex-x-1=0,解得 x=0,此时只有一个实数根,当 x>0 时, 令 f(x)-x-1=0,即 x2+(a-1)x=0,即 x[x-(1-a)]=0,此时解得 x=1-a,要使得函数 F(x) 有 2 个零点,则 1-a>0,所以 a<1,故选 B. 12.D 【解析】当 x∈Z 时,[x)=x+1,f(x)=[x)-x=x+1-x=1;当 xZ 时,令 x=n +a,n∈Z,a∈(0,1),则[x)=n+1,f(x)=[x)-x=1-a∈(0,1),因此 f(x)=[x)-x 的值域是 (0,1];0.9,1,1.1 是等差数列,但[0.9)=1,[1)=2,[1.1)=2 不成等差数列;0.5,1,2 是 等比数列,但[0.5)=1,[1)=2,[2)=3 不成等比数列;由前分析可得当 x∈Z 时,f(x)=1;当 xZ,x=n+a,n∈Z,a∈(0,1)时,f(x)=1-a=1-(x-n)=n+1-x,所以 f(x+1)=f(x), 即 f(x)=[x)-x 是周期为 1 的函数,由于 x∈(1,2)时 f(x)=2-x=1 2 ,x=3 2 ,即一个周期内有一 个根,所以若 x∈(1,2 018),则方程[x)-x=1 2 有 2 017 个根.①④正确,故选 D. 二、填空题 13.3 5 【解析】从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名参加体能测试,则恰有 1 名男同学 参加体能测试的概率为C13C12 C25 =3 5. 14.3 【解析】圆柱体体积公式 V=πr2h,而由题意有 V= 1 12 ×(2πr)2×h,所以π=3. 15.30 【解析】因为 1+1 x2 (1+x)6=1·(1+x)6+ 1 x2 ·(1+x)6,则(1+x)6 展开式中含 x2 的项为 1·C26x2=15x2,1 x2 ·(1+x)6 展开式中含 x2 的项为 1 x2 ·C46x4=15x2,故 x2 的系数为 15+15 =30. 16.5 【解析】令正三角形边长为 3,则OB→ =(1,0),OA→ = -3 2 , 3 2 ,设直线 AB 与 OC 的交点为点 D,若OD→ =xOA→ +yOB→ ,则 x+y=1.又由线性规划知识知当 P 在 C 点时,x+y 有最大值,此时OP→ =5OD→ ,故 x+y 的最大值是 5. 三、解答题17.【解析】(1)由△ABC 是等边三角形,得β=α+π 3 , 0≤α≤π 3 ,故 2cos α-cos β=2cos α-cos α+π 3 = 3sin α+π 3 , 故当α=π 6 ,即 D 为 BC 中点时,原式取最大值 3.5 分 (2)由 cos β=1 7 ,得 sin β=4 3 7 , 故 sin α=sin β-π 3 =sin βcos π 3 -cos βsin π 3 =3 3 14 ,7 分 由正弦定理 AB sin∠ADB = BD sin∠BAD , 故 AB=sin β sin αBD= 4 3 7 3 3 14 ×1=8 3 ,9 分 故 S△ABD=1 2AB·BD·sin B=1 2 ×8 3 ×1× 3 2 =2 3 3 .11 分 18.【解析】(1)依题意,a3+a4+a5= 7 16 ,6a5=a3+a4,则 a5= 1 16 ,a3+a4=3 8 ,得a5 q2 +a5 q = 3 8 , 即 6q2-q-1=0,解得 q=1 2 或 q=-1 3(舍),所以 q=1 2 ,a1=1, ∴数列{an}的通项公式为 an= 1 2 n-1 .5 分 (2) 设 cn = (bn + 1 - bn)·an , 数 列 {cn} 的 前 n 项 和 为 Sn , 则 Sn = 2n2 + n , 所 以 cn = S1 (n=1) Sn-Sn-1 (n≥2) , 解得 cn=4n-1.7 分 所以 bn+1-bn=(4n-1)·2n-1,故 bn-bn-1=(4n-5)·2n-2,n≥2, bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1) =(4n-5)·2n-2+(4n-9)·2n-3+…+7·21+3,9 分 设 Tn=3+7·21+…+(4n-9)·2n-3+(4n-5)·2n-2, 2Tn=3·2+7·22+…+(4n-9)·2n-2+(4n-5)·2n-1, 所以,-Tn=3+4·21+…+4·2n-3+4·2n-2-(4n-5)·2n-1, 因此 Tn=(4n-9)·2n-1+5,n≥2,又 b1=1, 所以 bn=(4n-9)·2n-1+6.11 分 19.【解析】(1)证明:∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形,∴BA,BC,BB1 两两垂直.且 BC=4,BA=4,BB1=8,AN=4, 以 BA,BB1,BC 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,如图 则 N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4),∴M(2,0,0).∵BP PC =1 3 ,∴P(0,0,1),则MP→ =(-2,0,1),设 n2=(x,y,z)为平面 NCB1 的一个法向 量, 则 n2·CN→ =0 n2·NB1 → =0  (x,y,z)·(4,4,-4)=0 (x,y,z)·(-4,4,0)=0  x+y-z=0, -x+y=0, 取 n2=(1,1,2),∴MP→ ·n2=(-2,0,1)·(1,1,2)=0,又 PM平面 CNB1,∴MP∥平 面 CNB16 分 (2)由(1)可知平面ΒCΒ1 的一个法向量为BA→=(4,0,0),平面 CΒ1Ν的法向量为 n2=(1,1, 2), 则 cos θ=| BA→·n2 |BA→ ||n2||=(4,0,0)·(1,1,2) 4× 6 = 6 6 ,∴sin θ= 30 6 .12 分 【注】本题只给出向量法,其他方法请参照标准酌情给分. 20.【解析】(1)每家餐饮店必须整改的概率是 1-0.5=0.5,且每家餐饮店是否整改是相互 独立的. 所以恰好有两家餐饮店必须整改的概率是 P1=C25×(1-0.5)2×0.53= 5 16.4 分 (2)由题知,必须整改的餐饮店数ξ服从二项分布 B(5,0.5).从而ξ的数学期望是 Eξ=5×0.5=2.5,即平均有 2.5 家餐饮店必须整改.8 分 (3)某餐饮店被关闭,即该餐饮店第一次检查不合格,整改后经复查仍不合格,所以该餐 饮店被关闭的概率是 P2=(1-0.5)×(1-0.8)=0.1,从而该餐饮店不被关闭的概率是 0.9.由题 意,每家餐饮店是否被关闭是相互独立的,所以至少关闭一家餐饮店的概率是 P3=1-0.95≈ 0.41.12 分 21.【解析】(1)由 e= 2 2 ,可设椭圆 C 的方程为x2 a2 +2y2 a2 =1, 点 P 2 2 , 3 2 满足|PF1|+|PF2|=2a,等价于点 P 在椭圆上,∴ 1 2a2 + 3 2a2 =1,∴a2=2, 所以椭圆 C 的方程为x2 2 +y2=1.5 分 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立得方程组 y=kx+m, x2+2y2-2=0, 消去 y 并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0, 则 Δ>01+2k2>m2 x1+x2=-4km 1+2k2 x1x2=2m2-2 1+2k2 ①.7 分 设△AOB 的重心为 G(x,y),由F1G→ ·F2G→ =-5 9 ,可得 x2+y2=4 9.② 由重心公式可得 G x1+x2 3 ,y1+y2 3 ,代入②式, 整理可得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4,③ 将①式代入③式并整理,得 m2=(1+2k2)2 1+4k2 ,10 分则 m2=(1+2k2)2 1+4k2 =1+ 4k4 1+4k2 =1+ 4 4 k2 +1 k4 .又由Δ>0 可知 k≠0,令 t=1 k2>0,∴t2+4t>0, ∴m2>1,∴m∈(-∞,-1)∪(1,+∞).12 分 22.【解析】(1)解法 1:f(x)的定义域为(-a,+∞),f′(x)=2x2+2ax+1 x+a 方程 2x2+2ax+1=0 的判别式Δ=4a2-8. (ⅰ)若Δ0,所以 f(x)单 调递增. 若 a=- 2,x∈( 2,+∞),f′(x)=( 2x-1)2 x- 2 >0,f(x)单调递增. (ⅲ)若Δ>0,即 a> 2或 a0, 所以 f′(x)2a2-2a2+1=1,所以当 a≤0 时 2x2+2ax+1≥0 恒成立; (ⅱ)当 a>0 时,-a- -a 2 =-a 20,所以 g(x)≥g(x0)>0. 综上,当 a≤2 时,g(x)>0.12 分

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