泰安一中13级高三数学（文科） 2016.5
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则使得成立的实数的取值范围是
A. B. C. D.
是
开始
输出
结束
否
2．已知i为虚数单位，则
A． B． C． D．
3.设、是两个命题，若是真命题，那么
A．是真命题且是假命题
B．是真命题且是真命题
C．是假命题且是真命题
D．是假命题且是假命题
4.执行如右图的程序框图，若输出的，
则输入的值可以为
A． B． C． D．
5.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长的棱长是
A. B. C. D.
6．已知函数的图象是由函数的图象经过如下变换得到：先将的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变．则函数的一条对称轴方程为
A． B． C． D．
7.函数的图象大致是
8.已知变量满足,则的取值范围是
A． B. C. D.
9．过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若弦的垂直平分线经过点，则等于
A． B． C． D．
10．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11.已知双曲线C：的一个焦点是抛物线的焦点，且双曲线C的离心率为，那么双曲线C的渐近线方程是 .
12. 已知函数，则的值为 .
13.已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值是 .
14．三边的长分别为，，，若，，则 ．
15．如果定义在R上的函数满足：对于任意，都有
，则称为“函数”．给出下列函数：①；②
；③；④，其中是“函数”的为 （填上所有正确命题的序号）.
三、解答题（共6小题，满分75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分12分)
质量指标值
0.012
0.004
0.019
0.030
15
25
35
45
55
65
75
85
0
频率
组距
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为．
（Ⅰ）求这些产品质量指标值落
在区间内的频率；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在
区间内抽取一个容量为
6的样本，将该样本看成一个总
体，从中任意抽取2件产品，求
这2件产品都在区间内
的概率．
17. (本小题满分12分)
已知的最小正周期为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在中，角所对应的边分别为，若有，则求角的大小以及的取值范围.
18．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，，，．
（Ⅰ）若是棱上一点，且，
求证：平面；
（Ⅱ） 若平面平面，平面平面，求证：平面；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥的体积.
19．(本小题满分12分)
设数列{an}满足：a1=1，an+1=an+2，n∈N*，数列{bn}为等比数列．已知a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n–1)•3n+1+3．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设an•(1+2log3bn)•cn=1，求数列{cn}的前n项和Tn．
20．(本小题满分13分)
已知椭圆：的短轴长为，离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线：与椭圆交于不同的两点，与圆相切于点．
（i）证明：（为坐标原点）；
（ii）设，求实数的取值范围．
21．(本小题满分14分)
已知函数，．
（Ⅰ）讨论在上的单调性；
（Ⅱ）设，直线是曲线在点处的切线，直线是曲线在点处的切线．若对任意的点，总存在点，使得在的下方，求实数的取值范围．
高三数学（文）参考答案 2016.5
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分）
CDDCA AABCD
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）.
11. 12. 13. 6 14. 15. ②③
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.解：（Ⅰ）设区间内的频率为，
则区间，内的频率分别为和．…………………………1分
依题意得，…………3分
解得．
所以区间内的频率为．……………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间，，内的频率依次为，，．
用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本，
则在区间内应抽取件，记为，，．
在区间内应抽取件，记为，．
在区间内应抽取件，记为．…………………6分
设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间内”为事件M，则所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种． ………………………………………………………8分
事件M包含的基本事件有：，，，，，
，，，，，共10种．……………10分
所以这2件产品都在区间内的概率为． ……………………12分
17.解：（1）
, -------------2分
的最小正周期为，
， --------------4分
. --------------6分
（2）,
∴由正弦定理可得：
, -------------9分
.
,
. ------------12分
18. 证明：（Ⅰ）连结，交于点，连结．
∵∥，，
∴．
∵，
∴．
∴∥． ……2分
又平面，平面，
∴∥平面． …… 4分
（Ⅱ）∵平面平面，平面平面，，
∴平面．
∴． …… 6分
同理可证． …… 7分
又，∴平面． ……8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面，则，
过M作，则，平面ABCD，
所以MN是三棱锥的高，………………10分
，，
而底面ABCD为直角梯形，所以
，………………11分
所以.………………12分
19.解：（Ⅰ）∵an+1=an+2，n∈N*，a1=1，
∴{an}是1为首项，2为公差的等差数列．
∴an=2n–1． ………… 3分
∵a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n–1)•3n+1+3，
∴a1b1=3，a1b1+a2b2 =30，
解得b1=3，b2 =9．
∴{bn}的通项公式为bn=3n． …………6分
（Ⅱ）∴an•(1+2log3bn)•cn=(2n–1) • (2n+1) •cn =1，
∴cn==(–) …………10分
∴Tn=(1–)+(–)+…+(–)+(–)
=(1–)=． …………12分
20.解：（Ⅰ）∵，∴．…… 1分
又，，
∴ ． ……3分
∴ 椭圆的方程为 ． …… 4分
（Ⅱ）（i）∵直线：与圆相切，
∴，即． ……5分
由 消去y并整理得，．
设，，
则． …… 7分
∵
，
∴． …… 9分
（ii）∵直线：与椭圆交于不同的两点，
∴．
∴． …… 11分
由（Ⅱ）（i）知，
∴，，即．
∴． …… 12分
∵，
∴的取值范围是． …… 13分
21．解：（Ⅰ）由，所以，……………1分
①当，即时，，所以在上单调递增．……2分
②当，即时，令，得，
当时，，所以；
当时，，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增． …………4分．
（Ⅱ）由，得，
所以曲线在点处的切线的方程为
，即． …………………6分
由，得，
所以曲线点处的切线的方程为
，即． …………………8分
要使直线在直线的下方，当且仅当恒成立，
即恒成立． …………………10分
设，则，
令，则，当时，，
所以在上是增函数， …………………12分
则，即当时，，
也就是在上是增函数，
所以在处取得最小值为2，
综上可知，实数的取值范围是． …………………14分
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