一中2013级高三数学（理科） 2016.5
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则使得成立的实数的取值范围是
A. B. C. D.
是
开始
输出
结束
否
2．已知i为虚数单位，则
A． B． C． D．
3.设、是两个命题，若是真命题，那么
A．是真命题且是假命题
B．是真命题且是真命题
C．是假命题且是真命题
D．是假命题且是假命题
4.执行如右图的程序框图，若输出的，
则输入的值可以为
A． B． C． D．
5.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长的棱长是
A. B. C. D.
6．已知函数的图象是由函数的图象经过如下变换得到：先将的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变．则函数的一条对称轴方程为
A． B． C． D．
7.函数的图象大致是
8．位男生和位女生共位同学站成一排，则位女生中有且只有两位女生相邻的排法种数是
A．36 B．72 C．48 D．108
9.已知点A是抛物线M:与圆在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离为，若抛物线M上一动点到准线的距离与到点C的距离之和的最小值为，为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为
A．2 B． C． D．
10．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
注意事项:
1. 第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题.
2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置.
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11.设随机变量服从正态分布,若,则 .
12.已知函数，则不等式的解集为 .
13．在△ABC中，，BA＝2，BC＝3，D，E是线段AC的三等分点，则的值为 ．
14. 已知对满足的任意正实数，都有，则实数的取值范围为 .
15．如果定义在R上的函数满足：对于任意，都有
，则称为“函数”．给出下列函数：①；②
；③；④，其中是“函数”的为 （填上所有正确命题的序号）.
三、解答题（共6小题，满分75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分12分)
已知的最小正周期为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在中，角所对应的边分别为，若有，则求角的大小以及的取值范围.
17．(本小题满分12分)
P
B
A
C
D
O
如图四棱锥，三角形为正三角形，边长为2，，，垂直于平面于O，O为的中点，．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）证明平面；
（Ⅲ）平面与平面所成二面角的余弦值．
18．(本小题满分12分)
甲、乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人．随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
(Ⅰ) 若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率；
（Ⅱ）用表示甲队的总得分，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求两队得分之和大于4的概率．
19．(本小题满分12分)
已知是正项等差数列，，数列的前项和．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设，，求数列的前项和．
20．(本小题满分13分)
已知椭圆：的短轴长为，离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线：与椭圆交于不同的两点，与圆相切于点．
（i）证明：（为坐标原点）；
（ii）设，求实数的取值范围．
21．(本小题满分14分)
设函数f(x)=+alnx．
（Ⅰ）若a＜0，求f(x)的单调区间和极值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(0，]上仅有一个零点；
（Ⅲ）若存在x0≥1，使得f(x)–x2–x＜（a≠1），求a的取值范围．
13级高三数学（理科）参考答案 2016.5
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分）
CDDCA AABCD
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）.
11. 2 12. 13. 14. 15. ②③
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.解：（1）
, -------------2分
的最小正周期为，
， --------------4分
. --------------6分
（2）,
∴由正弦定理可得：
, -------------9分
.
,
. ------------12分
17.解：（Ⅰ）证明:连结OB，O为等边三角形ABC的中点，
所以，………………1分
又垂直于平面，所以，………………2分
又，所以面，
面，所以.………………4分
（Ⅱ）证明：取AB的中点E，连结OE，则，，
P
B
A
C
D
O
y
x
z
则为边长为1的等边三角形.………………5分
在中，OD是斜边AC上的中线，，
三角形AOD为边长为1的等边三角形.……………………6分
又，所以，且，
即四边形AEOD为平行四边形，所以，………………7分
又面，面，
所以平面.………………8分
（Ⅲ）以A为原点，作与OP平行的直线为Z轴，作直线AD的垂线为x轴，AD为y轴，建立坐标系，如图，则
（0，0，0）,（，-1，0）,（，1，0）,D（0，1，0）, （，，1）,
（，，1），（，-1，0）设平面法向量为
令，则（1，，）， ……10分
（，，1）, （，0，0），
设平面法向量为
令，则（0，1，） ……11分
.……………………12分
18. 解: (Ⅰ) 6个选手中抽取两名选手共有种结果，
抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有：种结果，
用表示事件：“从两队的6个选手中抽取两名选手，求抽到的两名选手在同一个队”
.
故从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率为.
---------------------3分
(Ⅱ)由题意知，的可能取值为0，1，2，3，且
P(＝0)＝C×＝，
P(＝1)＝C××＝，
P(＝2)＝C××＝，
P(＝3)＝C×＝.
所以的分布列为
0
1
2
3
P
----------6分
的数学期望E()＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.----- -------------8分
（Ⅲ）用表示事件:两队得分之和大于4包括：两队得分之和为5，两队得分之和为6，
用表示事件：两队得分之和为5，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分.
---------------------------10分
用表示事件：两队得分之和为6，甲队3分乙队3分
----------------------------------------------------------11分
，
所以两队得分之和大于4的概率为．-------------------------------------------------12分
19. 解：（Ⅰ）依题意，设（、是常数，且）．
，即．
，即．
解，
得（舍去），或，．………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
．…………7分
为偶数时，
，………………9分
为奇数时，
，………………11分
∴………………12分
20.解：（Ⅰ）∵，∴．…… 1分
又，，
∴ ． ……3分
∴ 椭圆的方程为 ． …… 4分
（Ⅱ）（i）∵直线：与圆相切，
∴，即． ……5分
由 消去y并整理得，．
设，，
则． …… 7分
∵
，
∴． …… 9分
（ii）∵直线：与椭圆交于不同的两点，
∴．
∴． …… 11分
由（Ⅱ）（i）知，
∴，，即．
∴． …… 12分
∵，
∴的取值范围是． …… 13分
21.解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0，+∞)， …………1分
f¢(x)=x+=， …………2分
由f¢(x)=0解得x=．
f(x)与f¢(x)在区间(0，+∞)上的情况如下：
x
(0，)
(，+∞)
f¢(x)
–
0
+
f(x)
↘
↗
所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，+∞)；
f(x)在x=处取得极小值． …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在区间(0，+∞)上的最小值为．
因为f(x)存在零点，所以≤0，从而a≤–e．
当a=–e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f()=0，
所以x=是f(x)在区间(0，]上的唯一零点．
当a＜–e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)=＞0，f()=＜0，
所以f(x)在区间(0，]上仅有一个零点．
综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(0，]上仅有一个零点．…………9分
（Ⅲ）设g(x)=f(x)–x2–x=alnx+x2–x，
g¢(x)=+(1–a)x–1=(x–)(x–1)．
①若a＞1，则g(1)=–1=＜，符合题意．
②若a≤，则≤1，故当x∈(1，+∞)时，g¢(x)＞0，g(x)在(1，+∞)上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x)–x2–x＜的充要条件为
g(1)=–1=＜，解得––1＜a＜–1．
③若＜a＜1，则＞1，故当x∈(1，)时，g¢(x)＜0；
当x∈(，+∞)时，g¢(x)＞0．
g(x)在(1，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x)–x2–x＜的充要条件为g()＜，
而g()=aln++＞，所以不合题意．
综上，a的取值范围是(––1，–1)∪(1，+∞)． …………14分
微信/支付宝扫码支付