江苏省扬州中学高三模拟考试
数学试题 2016.5.20
一、填空题：(共 14 题，总分 70 分)
1．已知集合 { 0}A x x ， { 1 0 1 2}B ，，， ，则 A B 等于 ▲ ．
2．已知虚数 z 满足 2 1 6iz z ，则| |z ▲ ．
3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为 400，右图为检测结果的
频率分布直方图．根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，
25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品．则样本中三等品的件数为 ▲ ．
4.在平面直角坐标系 xOy 中，“双曲线 C 的标准方程为
22
116 9
yx ”是“双曲线 C 的渐近线
方程为 3
4y x ”成立的 ▲ 条件．(填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“非充
分非必要”中的一种)
5. 下图是一个算法流程图，则输出的 x 的值是 ▲ 。
6．如果实数 ,x y 满足线性约束条件
2 0,
3 5 0
1,
x y
x y
y
，则 2z x y 的最小值等于
▲ ．
7. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择 2 天进行紧急疏散演练，则选
10 15 20 25 30 4035
（第 3 题）
0.0125
0.0500
0.0625
0.0250
0.0375
频率
组距
长度/毫米择的 2 天恰好为连续 2 天的概率是 ▲ ．
8． 设 a ， b ， c 为三条不同的直线，给出如下两个命题：
①若 //a b ， b c ，则 a c ；②若 a b ， b c ，则 //a c ．
试类比以上某个命题，写出一个正确的命题：设 ， ， 为三个不同的平面， ▲ ．
9..若数列 }{ na 满足 2 1
1
n n
n n
a a ka a
（ k 为常数），则称数列 }{ na 为等比和数列，k 称为公比
和．已知数列 }{ na 是以 3 为公比和的等比和数列，其中 2,1 21 aa ，则 2015a
▲ ．
10．函数 1( ) 2sin( ) , [ 2,4]1f x x xx
的所有零点之和为 ▲ ．
11．已知 tan( ) 1 ， tan( ) 2 ，则 sin 2
cos2
的值为 ▲ ．
12．如果将直线 l ： 2 0x y c 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得直线 l 与
圆 C ： 2 2 2 4 0x y x y 相切，则实数 c 的值构成的集合为 ▲ ．
13．已知点 O 为△ ABC 的重心，且 OA OB ， 6AB ，则 AC BC 的值为 ▲ ．
14．若幂函数 ( ) af x x (a R )及其导函数 ( )f x 在区间(0， )上的单调性一致(同为增函
数或同为减函数)，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．
二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
15. (本小题满分 14 分)
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知b
c
＝2 3
3
，A＋3C＝π.
(1) 求 cosC 的值；
(2) 求 sinB 的值；
(3) 若 b＝3 3，求△ABC 的面积．
16. (本小题满分 14 分)
如图，四边形 AA1C1C 为矩形，四边形 CC1B1B 为菱形，且平面 CC1B1B⊥平面 AA1C1C，D、E
分别为 A1B1、C1C 的中点．求证：
(1) BC1⊥平面 AB1C；
(2) DE∥平面 AB1C.17.(本小题满分 14 分)
如图，某水域的两直线型岸边 l1，l2 成定角 120o，在该水域中位于该角角平分线上且与顶
点 A 相距 1 公里的 D 处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网 BC（B，
C 分别在 l1 和 l2 上），围出三角形 ABC 养殖区，且 AB 和 AC 都不超过 5 公里．设 AB＝x 公里，
AC＝y 公里．
（1）将 y 表示成 x 的函数，并求其定义域；
（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？
18．（本题满分 16 分）
定义：如果一个菱形的四个顶点均在一个椭圆上，那么该菱形叫做这个椭圆的内接菱形，
且该菱形的对角线的交点为这个椭圆的中心．
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 2 2 14
x y 的所有内接菱形构成的集合为 F ．
（1）求 F 中菱形的最小的面积；
（2）是否存在定圆与 F 中的菱形都相切?若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由；
（3）当菱形的一边经过椭圆的右焦点时，求这条边所在的直线的方程．
x
y
O
B
C
D
A19．（本题满分 16 分）
设函数 ( )f x ， ( )g x 的定义域均为 R ，且 ( )f x 是奇函数， ( )g x 是偶函数， ( ) ( )f x g x
ex ，其中 e 为自然对数的底数.
（1）求 ( )f x ， ( )g x 的表达式；
（2）设 0a≤ ， 1b≥ ， 0x ，证明： ( )( ) (1 ) ( ) (1 )f xag x a bg x bx .
20. 己知数列 na 是公差不为零的等差数列，数列 nb 是等比数列．
（1）若 1n n n nc a a b （n∈N*），求证： nc 为等比数列；
（2）设 nnn bac （n∈N*），其中 na 是公差为 2 的整数项数列，
n
nb
13
12 ，若
12345 16842 ccccc ，且当 17n 时， nc 是递减数列，求数列 na 的通项公式；
（3）若数列 nc 使得
n
nn
c
ba 是等比数列，数列 nd 的前 n 项和为
n
nn
c
ca ，且数列 nd 满
足：对任意 2n ， nN*,或者 0nd 恒成立或者存在正常数 M ，使 MdM n 1 恒成
立，求证：数列 nc 为等差数列．
附加题
1. （本小题满分10分）已知矩阵
3 1
2 2
2 1
A
（1）求 1A ；
（2）满足AX= 1A 二阶矩阵X2. （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
cos ( 0,sin
x a a by b
为参数），且曲线 C 上的点 (2, 3)M 对应的参数 π
3 ，以 O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 C 的普通方程；
（2）若 1 2
π( , ) ( , )2A B ， 是曲线 C 上的两点，求 2 2
1 2
1 1
的值．
3、（本小题满分 10 分）某公司有 10 万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析
知道：一年后可能获利 10%，可能损失 10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为1
2
，
1
4
，1
4
；如果投资乙项目，一年后可能获利 20%，也可能损失 20%，这两种情况发生的概率分
别为α和β(α＋β＝1)．
(1) 如果把 10 万元投资甲项目，用 X 表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求 X 的
概率分布列及数学期望 E(X)；
(2) 若 10 万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．
4．（本小题满分 10 分）
设 i 为虚数单位， n 为正整数．
（1）证明： (cos isin ) cos isinnx x nx nx ；
（2）结合等式“ 1 (cos isin ) (1 cos ) isinn nx x x x ”证明：
1 21 C cos C cos2 C cosn
n n nx x nx 2 cos cos2 2
n n x nx ．江苏省扬州中学高三数学五月质
量检测参考答案
一、填空题：(共 14 题，总分 70 分)
1．已知集合 ， ，则 等于
▲ ．
1．
2．已知虚数 满足 ，则 ▲ ．
2．
3． 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为 400，右图为检测结果
的频率分布直方图．根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区
间[20，25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品．则样本中三等品的件数为 ▲ ．
3. 【答案】100
4.在平面直角坐标系 xOy 中，“双曲线 的标准方程为 ”是“双曲线 的渐近线
方程为 ”成立的 ▲ 条件．(填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“非充
分非必要”中的一种)4.【答案】充分非必要
5. 下图是一个算法流程图，则输出的 的值是
5.59
6 ． 如 果 实 数 满 足 线 性 约 束 条 件 ， 则 的 最 小 值 等
于 ．
6.
7. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择 2 天进行紧急疏散演练，则选
择的 2 天恰好为连续 2 天的概率是 ．[来源:学#科#网 Z#X#X#K]
7.
8． 设 ， ， 为三条不同的直线，给出如下两个命题：
①若 ， ，则 ；②若 ， ，则 ．
试类比以上某个命题，写出一个正确的命题：设 ， ， 为三个不同的平面， ▲ ．
8.若 ， ，则
9..若数列 满足 （ 为常数），则称数列 为等比和数列，k 称为公比
和．已知数列 是以 3 为公比和的等比和数列，其中 ，则 ．
9.
10．函数 的所有零点之和为 ．10.答案：8 方程即 ，令 ， ，
这两个函数的图象都关于点 对称，在区间 内共有 8 个零
点，从左往右记为 ，则 ，故所有零
点和为 8．
11．已知 ， ，则 的值为 ▲ ．
11.【解析】
．
12．如果将直线 ： 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得直线 与
圆 ： 相切，则实数 的值构成的集合为 ▲ ．
12.易得直线 ： ，即 ，圆 ： 的
圆心 到直线 ： 的距离 ，解得 或 ．
13．如图，点 为△ 的重心，且 ， ，则 的值为 ▲ ．
13.以 AB 的中点 M 为坐标原点，AB 为 x 轴建立
平面直角坐标系，则 ， ， 设 ，则 ， 因为 OA OB，
所以 ，从而 ，
化简得， ，
所以 ．
14．若幂函数 (a )及其导函数 在区间(0， )上的单调性一致(同为增函
数或同为减函数)，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．
14．【答案】
【解析】易得 ， ，当 时， ， ；当时， ， ；当 时， ， ；当 时， ，
；当 时， ， ，综上得， ．
二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
15. (本小题满分 14 分)
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知
b
c＝
3
3，A＋3C＝π.
(1) 求 cosC 的值；
(2) 求 sinB 的值；
(3) 若 b＝3，求△ABC 的面积．
15. 解：(1) 因为 A＋B＋C＝π，A＋3C＝π，所以 B＝2C.(2 分)
又由正弦定理，得
b
sinB＝
c
sinC，
b
c＝
sinB
sinC，
3
3＝
2sinCcosC
sinC ，化简，得 cosC＝
3
3.(5 分)
(2) 因为 C∈(0，π)，所以 sinC＝＝
1
3＝
6
3.
所以 sinB＝sin2C＝2sinCcosC＝2×
6
3×
3
3＝
2
3.(8 分)
(3) 因为 B＝2C，所以 cosB＝cos2C＝2cos2C－1＝2×
1
3－1＝－
1
3.(10 分)
因为 A＋B＋C＝π，
所以 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝
2
3×
3
3＋
1
3×
6
3＝
6
9.(12 分)
因为
b
c＝
3
3，b＝3，所以 c＝
9
2.
所以△ABC 的面积 S＝
1
2bcsinA＝
1
2×3×
9
2×
6
9＝
2
4.(14 分)
16. (本小题满分 14 分)
如图，四边形 AA1C1C 为矩形，四边形 CC1B1B 为菱形，且平面 CC1B1B⊥平面 AA1C1C，
D、E 分别为 A1B1、C1C 的中点．求证：
(1) BC1⊥平面 AB1C；
(2) DE∥平面 AB1C.
16. 证明：(1) ∵ 四边形 AA1C1C 为矩形，∴ AC⊥C1C.(1 分)
又平面 CC1B1B⊥平面 AA1C1C，平面 CC1B1B∩平面 AA1C1C＝CC1，
∴ AC⊥平面 CC1B1B.(3 分)
∵ C1B 平面 CC1B1B, ∴ AC⊥C1B.(4 分)又四边形 CC1B1B 为菱形，∴ B1C⊥BC1.(5 分)
∵ B1C∩AC＝C，AC 平面 AB1C, B1C 平面 AB1C，∴ BC1⊥平面 AB1C.(7 分)
(2) 取 AA1 的中点 F，连结 DF，EF.
∵ 四边形 AA1C1C 为矩形，E，F 分别为 C1C，AA1 的中点，∴ EF∥AC.
又 EF平面 AB1C，AC 平面 AB1C，∴ EF∥平面 AB1C.(9 分)
∵ D，F 分别为边 A1B1，AA1 的中点，∴ DF∥AB1.
又 DF 平面 AB1C，AB1 平面 AB1C，∴ DF∥平面 AB1C.
∵ EF∩DF＝F，EF 平面 DEF，DF 平面 DEF，
∴ 平面 DEF∥平面 AB1C.(12 分)
∵ DE 平面 DEF, ∴ DE∥平面 AB1C.(14 分)
17.(本小题满分 14 分)
如图，某水域的两直线型岸边 l1，l2 成定角 120o，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点
A 相距 1 公里的 D处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网 BC（B，
C 分别在 l1 和 l2 上），围出三角形 ABC 养殖区，且 AB 和 AC都不超过 5 公里．设 AB＝x 公
里，AC＝y 公里．
（1）将 y 表示成 x 的函数，并求其定义域；
（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？
试题解析：解：(1)由 SΔABD＋SΔACD＝SΔABC
得 xsin60º＋ ysin60º＝ xysin120º …………… 2 分
所以 x+y=xy，所以 y＝ …………… 4 分
又 0＜y≤5，0＜x≤5，所以 ≤x≤5
所以定义域为{x| ≤x≤5} ……………… 6 分18．（本题满分 16 分）
定义：如果一个菱形的四个顶点均在一个椭圆上，那么该菱形叫做这个椭圆的内接菱形，
且该菱形的对角线的交点为这个椭圆的中心．
如图，在平面直角坐标系 中，设椭圆
的所有内接菱形构成的集合为 ．
（1）求 中菱形的最小的面积；
（2）是否存在定圆与 中的菱形都相切?若存在，
求出定圆的方程；若不存在，说明理由；
（3）当菱形的一边经过椭圆的右焦点时，求这条
边所在的直线的方程．
18.解：（1）如图，设 ， ，
当菱形 的对角线在坐标轴上时，其面积为 ；
当菱形 的对角线不在坐标轴上时，设直线 的方程为： ，①则直线 的方程为： ，
又椭圆 ， ②
由①②得， ， ，
从而 ，
同理可得， ，（3 分）
所以菱形 的面积为
(当且仅当 时等号成立),
综上得，菱形 的最小面积为 ；（6 分）
（2）存在定圆 与 中菱形的都相切，设原点到菱形任一边的距离为 ，
下证： ，
证明：由(1)知，当菱形 的对角线在坐标轴上时， ，
当菱形 的对角线不在坐标轴上时，
，即得 ，
综上，存在定圆 与 中的菱形都相切；（12 分）
（3）设直线 的方程为 ，即 ，
则点 到直线 的距离为 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ．（16 分）
19．（本题满分 16 分）
设函数 ， 的定义域均为 ，且 是奇函数， 是偶函数，
其中 为自然对数的底数.
（1）求 ， 的表达式；
（2）设 ， ， ，证明： .
解：（1）由 得， ，
因为 是奇函数， 是偶函数，
所以 ，
从而 ， (4 分)
（2）当 时， ，
所以 ， .(6 分)
由（1）得， ， ，(8 分)
当 时， ，
，
设函数 ，(10 分)
则 ，(12 分)
若 ， ，则 ，故 为 上增函数，
所以 ，
若 ， ，则 ，故 为 上减函数，
所以 ，综上知， .（16 分）
20. 己知数列 是公差不为零的等差数列，数列 是等比数列．
（1）若 （n∈N*），求证： 为等比数列；
（2）设 （n∈N*），其中 是公差为 2 的整数项数列， ，若
，且当 时， 是递减数列，求数列 的通项公式；
（3）若数列 使得 是等比数列，数列 的前 项和为 ，且数列 满
足：对任意 ， N*,或者 恒成立或者存在正常数 ，使 恒成
立，求证：数列 为等差数列．
（1）证明： ，设 公差为 且 ， 公比为 ，
=常数，
为等比数列………3 分
（2）由题意得： 对 恒成立且 对 恒成立，…5 分
对 恒成立 …… ……7 分
对 恒 成 立
………… ……9 分
而或 或 . ………… ……10 分
（3）证明：设
不妨设 ，
， 即
. ………… ……13 分
若 ，满足 ，
若 ，则对任给正数 M，则 取 内的正整数时，
，与 矛盾.
若 ，则对任给正数 T= ，则 取 内的正整数时
= ，与 矛盾.
， 而 是等差数列，设公差为 ，
为定值， 为等差数列. ………… ……16 分
附加题答案
1.已知矩阵
（1）求 ；
（2）满足AX= 二阶矩阵X
1.解：(1) ………4 分(2) ………10 分
2.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数），且
曲线 上的点 对应的参数 ，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 的普通方程；
（2）若 是曲线 上的两点，求 的值．
(1) (2)
3、某公司有 10 万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利
10%，可能损失 10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为
1
2，
1
4，
1
4；如果投资乙
项目，一年后可能获利 20%，也可能损失 20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝
1)．
(1) 如果把 10 万元投资甲项目，用 X 表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求 X 的
概率分布列及数学期望 E(X)；
(2) 若 10 万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．
3. 解：(1) 依题意，X 的可能取值为 1，0，－1，(2 分)
X 的分布列为
X 1 0 －1
P 1
2
1
4
1
4
(4 分)
E(X)＝1×
1
2－1×
1
4＝
1
4.(5 分)
(2) 设 Y 表示 10 万元投资乙项目的收益，则 Y 的分布列为
Y 2 －2
P α β
(8 分)
E(Y)＝2α－2β＝4α－2，依题意要求 4α－2≥
1
4，∴
9
16≤α≤1.(10 分)
23．（本小题满分 10 分）
设 为虚数单位， 为正整数．（1）证明： ；
（2）结合等式“ ”证明：
．
证明：（1）①当 时， ，即证；
②假设当 时， 成立，
则当 时，
，
故命题对 时也成立，
由①②得， ；（5 分）
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ，
，
其实部为 ；
，
其实部为 ，
根据两个复数相等，其实部也相等可得：
．（10 分）
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