雅安中学高2013级高考前模拟（一）
数学试题（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数的定义域为集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知为第二象限角，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
4.下列有关命题的说法正确的是（ ）[来源:Z.xx.k.Com]
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”
D．命题“已知x，y为一个三角形的两内角，若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题
5.如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )
A. B. C. D.
6.点是区域内的任意一点，则使函数在区间上是增函数的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，,,,则＝
A. B. C. D.
8. 已知直线，其中为常数且，
则错误的结论是（ ）
A．直线的倾斜角为；
B．无论为何值，直线总与一定圆相切；
C．若直线与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；
D．若是直线上的任意一点，则；
9.点是抛物线上一点，为坐标原点，若以点为圆心，的长为半径的圆交抛物线于两点，且为等边三角形，则的值是（ ）
A. B. 2 C. 6 D.
10.函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相对应位置上.
11. 设．则 .
12. 将甲乙等5名交警分配到三个不同的路口疏通交通，每个路口至少一人，且甲乙在同一路口的分配方案有 ___ ___种.
13．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为___ _____．
14. 以一年为一个调查期，在调查某商品出厂价格及销售价格时发现：每件商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦型函数曲线波动，已知月份出厂价格最高为元，月份出厂价格最低为元，而每件商品的销售价格是在元基础上同样按月份随正弦型函数曲线波动，且月份销售价格最高为元，月份销售价格最低为元，假设某商店每月购进这种商品件，且当月售完，则该商店的月毛利润的最大值为 元.
15.已知函数的定义域为D，若函数的导函数存在且连续且为的极值点；则称点（，）是函数的拐点.则下列结论中正确的是
（填出所有正确结论的番号）.
（1）函数的拐点为;
（2）函数有且仅有两个拐点；
（3）若函数有两个拐点，则；
（4）函数的拐点为（，），则存在正数使在区间和区间上的增减性相反.
三、解答题：本大题共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）已知锐角中内角、、所对边的边长分别为、、，满足，且．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）设函数,图象上相邻两最高点间的距离为,求的取值范围．[来源:学科网ZXXK]
17.（本小题满分12分）如图①，在直角梯形中，，，，，的中点，与的交点.将沿折起到的位置，如图②.
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.
18．（本小题满分12分）为提高市民的遵纪守法意识，某市电视台举行法律知识竞赛，比赛规则是：由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正分，否则记负分．假设某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；记“该选手在回答完个问题后的总得分为”．
（Ⅰ）求且的概率； （Ⅱ）记,求的分布列和数学期望．
19.(本小题满分12分)[来源:Zxxk.Com]
已知在数列中，，当时，其前项和满足.
（1）求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，求证：.
[来源:Z_xx_k.Com]
20．(本小题满分13分)
设点P为圆上的动点，过点P作轴的垂线，垂足为Q，点M满足.
O
P
M
Q
A
C
D
B
T
（1）求点M的轨迹的方程；
（2）过直线上的点T作圆的两条切线，设切点分别
为A、B，若直线AB与（1）中的曲线交与C、D两点，
求的取值范围.
21.（本小题满分14分）已知函数，其中为自然对数的底数，.
（1）若时方程在上恰有两个相异实根，求的取值范围；
（2）若，且，求在上的最大值；
（3）若，求使对都成立的最大正整数.
数学试题（理科）参考答案
一．DDADA ADADA
二． 11.15 12.36 13.6 14. 15. ①③
三．16.（Ⅰ）因为,由余弦定理知
所以 ............. .......2分
又因为,则由正弦定理得:，.........4分
所以，所以 .............6分
（Ⅱ）
由已知，则 .............9分
，，由于，所以．
所以，所以 ......12分[来源:学*科*网Z*X*X*K][来源:学科网]
18. 解：(1)当时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个.若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个.记回答每个问题
故所求概率为：正确的概率为，则，回答每个问题错误的概率为 ………3分……………6分
(2) 由可知X的取值为10，30，50.
可有
……………9分
故的分布列为：
10
30
50
. ……………12分
19.解：（1）因为当时，，所以，
，
所以，，所以，， ……………3分
所以，数列为等差数列，其首项为1，公差为，，；
当时，,
所以， ……………6分
（2）因为，，所以，
，…………（1）
………（2）
（1）（2）得，
所以， ……………12分
20.解：（1）设，，则由得到：代入
得到：所以，点M的轨迹的方程为 ……………4分
（2）设点,则直线AB的方程为，又设，则，得[来源:学科网]
于是，， ……………6分[来源:学+科+网Z+X+X+K]
所以，于是，, ……………7分
令，则 ………9分
令，于是，
设，
所以，在单调递增，故，所以， ………13分
21.（1），，故在上单调递减；在上单调递增；故在上恰有两个相异实根.
； ……………3分
（2），，∴
①当时，，在上为增函数，则此时；[来源:学科网ZXXK]
②当时，，，故在上为增函数，在上为减函数，此时，
③当时，，，故在上为增函数，此时
；
综上所述：， ……………8分
（3）由题设：[来源:学科网ZXXK]
因为故在上单调递减；在上单调递增；
故（*）
设，则，
故在上单调递增；在上单调递减；
而，
且，
故存在，使，且时，时，
又∵，故时使的最大正整数
……………14分
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