四川省双流中学2016届高三5月月考数学（理）试题 Word版含答案.doc

四川省双流中学2016-2017学年度高三5月月考试题 数学（理工农医类）‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设复数，则在复平面内对应的点坐标为 （ ）‎ A . B． C． D． ‎ ‎2. 集合，则 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知向量，满足，，则夹角的余弦值为( )‎ A.　　 B. C. 　 D. ‎ ‎4．若圆与圆都关于直线对称,则（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎5．下列各命题中正确的命题是 （ ）‎ ‎①命题“或”为真命题，则命题“”和命题 “”均为真命题；‎ ‎② 命题“”的否定是“”；‎ ‎③“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；‎ ‎④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”。‎ ‎ A．②③ B．①②③ C．①②④ D．③④‎ 正视方向 图1‎ 图2‎ ‎ 6． 如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，‎ 动点M、N、Q分别在线段上.‎ 当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，‎ 三棱锥Q-BMN的正视图面积等于 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7．某大学的名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐名同学（乘同一辆车的 名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的名同学中恰有名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种.‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设不等式组 表示的平面区域为，点，点，在区域内随机取一点，则点满足的概率是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率 （ ）‎ A . B． C． D． ‎10．已知函数，对，使得，则的最小值为 （ ） ‎ A . B． C． D． 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分。‎ ‎11．设,则　　 　．‎ ‎12．某单位为了了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天气温，并制作了对照表 气温（）‎ 用电量（度）‎ 由表中数据得回归直线方程中，预测当气温为时，用电量的度数是 ．‎ ‎13．已知△ABC外接圆的圆心为，且则= ． ‎ ‎14．已知函数（为正实数）只有一个零点，则的最小值为________.‎ ‎15．函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是，规定（为线段AB的长度）叫做曲线在点A与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：‎ ‎①函数图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则；‎ ‎②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；‎ ‎③设点A,B是抛物线上不同的两点，则；‎ ‎④设曲线（e是自然对数的底数）上不同两点，若恒成立，则实数t的取值范围是.‎ 其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，且三人是否应聘成功是相互独立的．‎ ‎（Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是，求的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设表示甲、乙两人中被聘用的人数，求的数学期望．‎ ‎17．（本小题满分12分）已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，求的表达式．‎ ‎18.(本题满分12分)在中，是中点，已知.‎ D C B A ‎（1）判断的形状；‎ ‎（2）若的三边长是连续三个正整数，求的余弦值。‎ ‎19.（本小题满分12分）如图,BC为圆O的直径,D为圆周上异于B、C的一点,AB垂直于圆O所在 的平面,BE⊥AC于点E,BF⊥AD于点F.‎ ‎(1)求 证：BF⊥平面ACD；‎ ‎(2)若AB＝BC＝2,∠CBD＝45°,求平面BEF与平面BCD所成锐二面角的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 已知椭圆形：（a＞b＞0）的离心率为，其左顶点A在圆O：上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆W的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得＝3? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎21．（本小题满分14分）已知函数．‎ ‎（1）若在处取极值，求的值；‎ ‎（2）讨论的单调性；‎ ‎（3）证明: （为自然对数的底数, ）． ‎ 数学（理工农医类）参考答案 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设复数，则在复平面内对应的点坐标为 （ D ）‎ A . B． C． D． ‎ ‎2. 集合，则 （ C ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知向量，满足，，则夹角的余弦值为( D )‎ A.　　 B. C. 　 D. ‎ 试题分析：，，则的夹角余弦值为. 故选D. 考点：向量的基本运算.‎ ‎4．若圆与圆都关于直线对称,则（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎【命题意图】本题主要考查直线与圆的位置关系及利用同角三角函数的关系式求值,意在考查基本运算能力. 【答案】B ‎5．下列各命题中正确的命题是 （ A ）‎ ‎①命题“或”为真命题，则命题“”和命题 “”均为真命题；‎ ‎② 命题“”的否定是“”；‎ ‎③“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；‎ ‎④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”。‎ ‎ A．②③ B．①②③ C．①②④ D．③④‎ ‎ 6． 如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，‎ 正视方向 图1‎ 图2‎ 动点M、N、Q分别在线段上.‎ 当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，‎ 三棱锥Q-BMN的正视图面积等于 ( B )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7．某大学的名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐名同学（乘同一辆车的名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的名同学中恰有名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种.‎ A． B． C． D．‎ ‎【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力．‎ ‎【答案】A 【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有种. 共有24种. 选A.‎ ‎8．设不等式组 表示的平面区域为，点，点，在区域 内随机取一点，则点满足的概率是 （B）‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎9．已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率 （ B ）‎ A . B． C． D． ‎10．已知函数，对，使得，则的最小值为 （ A ） ‎ A . B． C． D． 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分。‎ ‎11．设,则　　 　．31‎ ‎12．某单位为了了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天气温，并制作了对照表 气温（）‎ 用电量（度）‎ 由表中数据得回归直线方程中，预测当气温为时，用电量的度数是 ．【答案】‎ 试题分析：回归直线过，根据题意，，代入，所以时，，所以用电量的度数是68. 考点：回归直线方程 ‎13．已知△ABC外接圆的圆心为O，且则∠AOC= ．‎ ‎14．已知函数（为正实数）只有一个零点，则的最小值为________.‎ ‎15．函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是，规定（为线段AB的长度）叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：‎ ‎①函数图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则；‎ ‎②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；‎ ‎③设点A,B是抛物线上不同的两点，则；‎ ‎④设曲线（e是自然对数的底数）上不同两点，若恒成立，则实数t的取值范围是.‎ 其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）‎ ‎15．答案②③.解:①错：‎ ‎②对：如；‎ ‎③对；；④错；，‎ 因为恒成立，故.‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，且三人是否应聘成功是相互独立的．‎ ‎（Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是，求的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设表示甲、乙两人中被聘用的人数，求的数学期望．‎ ‎16解：（Ⅰ）依题意, 所以. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为, 的可能取值为0,1,2 ‎ ‎，，‎ ‎，所以. ‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，求的表达式．‎ ‎17．解：（Ⅰ）, …………2分 由及得∴ ………4分 方程在的解从小到大依次排列构成首项为，‎ 公差为的等差数列∴. ………………6分 ‎（Ⅱ）， ‎ ‎.……12分 D C B A ‎18.(本题满分12分)‎ 在中，是中点，已知.‎ ‎（1）判断的形状；‎ ‎（2）若的三边长是连续三个正整数，求的余弦值。‎ 试题解析：（I）设 则由 ‎ 中，由正弦定理得 同理得 …2分 ‎ …………4分 即因为 ……6分 是等腰三角形或直角三角形。 ………………7分 ‎（II）当时，‎ 与的三边长是连续三个正整数矛盾，‎ ‎， 是等腰三角形。 ………………8分 在直角三角形ADC中，设两直角边分别为 由得n=4， …………10分 由余弦定理或二倍角公式得 或 …………12分 考点：正弦定理、余弦定理的应用。‎ ‎19.（本小题满分12分）如图,BC为圆O的直径,D为圆周上异于B、C的一点,AB垂直于圆O所在的平面,BE⊥AC于点E,BF⊥AD于点F.‎ ‎(1)求 证：BF⊥平面ACD；‎ ‎(2)若AB＝BC＝2,∠CBD＝45°,求平面BEF与平面BCD所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【命题意图】本题主要考查空间向量的应用、线面垂直的判断及二面角的求法．意在考查逻辑推理能力及空间想象能力.‎ 法二：(建系向量法)如图,以O为原点建立空间直角坐标系．‎ 则B(0,－1,0),E(0,0,1),D(1,0,0),A(0,－1,2),‎ ‎∵BF⊥AD,∴DF＝＝＝AD,得＝,‎ ‎∴F(,－,),＝(,,),＝(0,1,1),‎ 设平面BEF的法向量为n1＝(x,y,z),则,‎ 即,解得,不妨取平面BEF的一个法向量n1＝(0,－1,1)．‎ 而又由已知AB垂直于圆O所在的平面．得是平面BDC的一个法向量,即n2＝＝(0,0,2),‎ 设平面BEF与平面BCD所成的锐二面角为θ,即cos θ＝|cos〈n1,n2〉|＝＝.（12分）‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 已知椭圆形：（a＞b＞0）的离心率为 ‎，其左顶点A在圆O：上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆W的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得＝3? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎ 解：（1）因为椭圆的左顶点A在圆上，令，得，所以.又离心率为，所以，所以,所以,‎ 所以的方程为. ……………………………………4分 ‎（2）设点，设直线的方程为， ‎ 与椭圆方程联立得,‎ 化简得到, 因为为方程的一个根，‎ 所以，所以 ‎ 所以. ………………………………7分 因为圆心到直线的距离为，‎ 所以, …………………………9分 因为，‎ 代入得到 显然，所以不存在直线，使得. ……………………13分 ‎21．（本小题满分14分）已知函数．‎ ‎（1）若在处取极值，求的值；‎ ‎（2）讨论的单调性；‎ ‎（3）证明: （为自然对数的底数, ）． ‎ ‎【命题意图】本题主要考查了导数在求解函数的单调性与极值；不等式的证明等问题中的应用，着重考查了分类讨论的数学思想方法，属于难题．‎ ‎【答案】（1）；（2）若时，在上单调递减，若 时，在 上单调递增，在和上单调递减，若时，在单调递增，在单调递减；（3）证明见解析．‎ ‎3分 再令，可得 ‎∴在 上单调递增，‎ 在上单调递减 综上所述，若时，在上单调递减；‎ 若时，在 上单调递增，‎ 在上单调递减；‎ 若时，在单调递增，在单调递减．…………………………………9分 ‎ ………………14分 ‎（本小题满分12分）已知向量.‎ ‎（1）当时,求的值；‎ ‎（2）已知在锐角中,分别为角的对边,,函数,求的取值范围.‎