上海市浦东新区2016届高三5月综合练习（三模）数学理试题 Word版含解析.doc

www.ks5u.com ‎2016届浦东新区综合练习（三模）‎ 数学理试题　2016.05‎ 一、填空题 ‎1、抛物线的准线方程是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，则其准线方程为 ‎ ‎2、计算： ‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎3、已知，，且，的夹角为，则 ‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】，所以 ‎4、在复平面内，点对应的复数为，则 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎5、关于的方程的解为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所以，解得 ‎6、设，，，则实数的取值集合为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】易得 ‎①若，则，满足题意；‎ ‎②若，则。由，则或，解得或 ‎ ‎7、已知公差为的等差数列的前项和为，若，则 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所以，，所以 ‎8、某校要从2名男生和4名女生中选出4人，担任在迪斯尼举行的某项活动的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女都有的概率为 （结果用数值表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎9、圆心是，半径为的圆的极坐标方程为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆上的点，由图知：‎ ‎10、如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点作截面后形成的。已知，，与底面所成的角为，‎ 则这个多面体的体积为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图知：‎ 多面体的体积由两部分构成。‎ ‎，‎ 显然。‎ 因为，所以 ‎ 所以，则多面体的体积 ‎ ‎11、直线与抛物线至多有一个公共点，则的取值范围是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知：直线与抛物线的交点个数为0或1个。‎ 由 ‎①，显然满足；‎ ‎②当时，由，由图像知：‎ 所以，综上所述，的取值范围是。‎ ‎12、已知函数，若对于正数，关于的函数 的零点个数恰好为个，则 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】易知：在上函数图像是上半圆。‎ 当时，由得 ‎，所以函数周期为2。‎ 由题意知：与在区间上的圆相切。即直线与圆心在，半径为1的圆相切。所以。‎ 所以。‎ ‎13、函数，数列满足，，若要使成等差数列，则的取值范围是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出函数的图像，如图所示。‎ 要使为等差数列，则。‎ 即。所以可以将中的 每一项看成是方程的根。‎ ‎（图示中的紫色实线就是函数的图像，‎ 而红色细实线就是函数的图像。）又可以看成是与图像的交点的横坐标。‎ 由题意知，若，两个函数图像应该有无数个交点（因为，所以数列各项均不相等），由图知，当时的函数应该就是的图像中的一部分，即。所以的取值范围是。‎ 若，则将中的每一项看成是方程的根。‎ 由图知：当时，，由得 当时，，由得 综上所述，的取值范围是 ‎14、设整数，集合，是的两个非空子集，则所有满足：中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设集合中的最大数为，则中的最小数可取值的集合为，则由题意知：集合的个数为：个，而此时集合的个数为：‎ 个，所以集合对的个数为个。又，所以。‎ 二、选择题 ‎15、若为实数，则是的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】①；②若 ‎16、设为双曲线上的一点，是左右焦点，，则的面积等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用“焦点三角形的面积公式”。，求得面积 ‎17、若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（ ）‎ A. B.2 C.4 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由。设轴截面顶角大小为，则，所以。‎ 所以两条母线所确定的截面面积的最大值为 ‎18、设是公比为的无穷等比数列，若中任意两项之积仍是该数列中的项，则称为“封闭等比数列”。给出以下命题：‎ ‎①，，则是“封闭等比数列”；②，，则是“封闭等比数列”；③若、都是“封闭等比数列”，则、‎ 也都是“封闭等比数列”；④不存在，使和都是“封闭等比数列”。以上正确命题的个数是（）‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，若为“封闭等比数列”，则。即。化简得：。 ‎ 对于①：，，要使是“封闭等比数列”，则，显然不成立；‎ 另解：，显然，所以①错误 对于②：，，要使是“封闭等比数列”，则，即，解得：，显然有解；‎ 对于③： 对于，‎ 因为、都是“封闭等比数列”，则，，所以 ‎，若，则是“封闭等比数列”；‎ 对于，‎ 另解：若，都为“封闭等比数列”，则不是“封闭等比数列”。‎ 对于④：若为“封闭等比数列”，则，得到，则为“封闭等比数列”。‎ 另解：若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”。‎ 三、解答题 ‎19、如图，平面，四边形是矩形，，，点是的中点，点在边上移动。‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）证明：无论点在边的何处，都有 ‎【解析】（1）因为，所以平面 ‎ 所以上任意一点到平面的距离相等，就是。‎ 所以 ‎（2）因为，点是的中点，所以。‎ 又，，所以平面，所以。则平面。‎ 因为平面，所以。‎ ‎20、如图，上海迪斯尼乐园将一三角形地块的一角开辟为游客体验活动区，已知，的长度均大于200米。设，，且总长度为200米。‎ ‎（1）当为何值时？游客体验活动区的面积 最大，并求最大面积；‎ ‎（2）当为何值时？线段最小，并求最小值。‎ ‎【解析】（1）因为，且 所以，当且仅当时，等号成立。‎ 所以，当米时，‎ ‎（2）因为 当米时，线段米，此时米。‎ ‎21、已知函数，‎ ‎（1）在上恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，对任意的，存在，使得恒成立，求的取值范围。‎ ‎【解析】（1）由题意即在上恒成立。即在上恒成立。‎ 设，易得，所以 ‎（2）由题意知：（*）‎ 易知，当时，‎ ‎①当，即时，，由（*）得：，解得（舍）‎ ‎②当，即时，，由（*）得：，解得。‎ ‎③当，即时，，由（*）得：，解得。‎ 综上所述，的取值范围是 ‎22、设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，椭圆的长半轴长为，短半轴长为，若，则称椭圆与椭圆是相似椭圆。已知椭圆，其左顶点为，右顶点为。‎ ‎（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；‎ ‎（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点作斜率为的直线与椭圆只有一个公共点，当为何值时，取得最小值，并求出最小值；‎ ‎（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆，椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上。‎ ‎【解析】（1）由题意得或，分别解得或 ‎（2）由题意知：，，直线，直线 由得：，因为直线与椭圆仅有一个公共点，则①‎ 由得：，因为直线与椭圆仅有一个公共点，则 ‎②‎ 由②解得：代入①得：，所以 此时，即 ‎（3）由题意知：，所以。且，。‎ 设垂心，则，即。又点在上，有。则，所以的垂心在椭圆上。‎ ‎23、无穷数列满足，其中均为非负实数且不同时为0.‎ ‎（1）若，，且，求的值；‎ ‎（2）若，，求数列的前项和；‎ ‎（3）若，，且是单调递减数列，求实数的取值范围。‎ ‎【解析】（1）若，，则。由题意知，，所以 设，则。由得：，即，因为，所以。再由得：，即，所以，。‎ ‎（2）①若，，则。则，，由此得：‎ 所以，即（为偶数）‎ ‎，所以（为奇数）‎ ‎②若，，则，即为公比为的等比数列 所以 ‎（3）若，则，再设，则。‎ 要满足题意，即。‎ 即要满足①在上递增，②‎ 由①得，解得；由②得 ‎【点评】若，则，由。即若，则，不满足题意。所以。‎ ‎【标答】由题意，。由，可得 ‎ 若是单调递减数列，则，可得 ‎ 又有①‎ 因为，所以，即 由①可知，‎ 所以 ‎ 所以②‎ 所以对于任意自然数，恒成立 因为，由，解得 下面证明：当时，是单调递减数列。‎