省姜堰二中高三年级第四次模拟考试
数 学 试 题 2016.5
命题：高三数学组
(考试时间：120分钟 总分：160分)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．
1、已知集合，集合，则=
2、已知为虚数单位，复数，则复数的模为
3、命题“∃x≥0，使x(x＋3)≥0”的否定是
4、下列程序：
For I From 1 to 10 Step 3
End For
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输出的结果是
5、在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P(x，y)，则| x |+ y ≤ 0的概率为
6、底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为 ．
7、函数()在一个周期内的
图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与轴的交点，
且△ABC为正三角形，则=
8、已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组，
则tan∠AOB的最大值等于
9、，，则最小值
10、已知sin ＋sin α＝，则sin的值是
11、设点为双曲线（，）上一点，，分别是左右焦点，
是△的内心，若△，△，△的面积，，满足
，
则双曲线的离心率为
12、已知函数，，，
恒有，则实数a的取值范围
13、已知点O为△ABC的垂心，， 则角A=
14、设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a54=4028，且存在正整数k，使a1，a54，ak
成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．
15、（本小题满分14分）
A
B
C
D
如图，三棱柱为正三棱柱，,是中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
16、（本小题满分14分）
已知中，，记．
（1）求解析式及定义域；
（2）设 ，是否存在实数，使函数的值域为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
17、（本小题满分14分）
如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．
（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；
（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．
18、（本小题满分16分）
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)上顶点A(0，2)，右焦点F(1，0)，设椭圆上任一点到点Q(0,6)的距离为d．
（1）求d的最大值；
（2）过点F的直线交椭圆于点S，T两点，P为直线l上一动点,l为椭圆的右准线．
①若PF⊥ST，求证：直线OP平分线段ST；
②设直线PS，PF，PT的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1，k2，k3成等差数列．
x
O
y
P
F
T
A
l
S
19、（本小题满分16分）
已知函数
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，若对任意恒成立，求实数 的取值范围;
(3)设函数的图像在两点P，Q处的切线分别为l1,l2，若
，，且l1⊥l2，求实数c 的最小值.
20、（本小题满分16分）
已知有穷数列各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称为的“序数列”，例如数列：，，满足>>，则其序数列为1，3，2．
(1)求证：有穷数列的序数列为等差数列的充要条件是有穷数列为单调数列；
(2)若项数不少于5项的有穷数列，的通项公式分别是，，且的序数列与的序数列相同，求实数的取值范围；
(3)若有穷数列满足=1，，且的序数列单调减，的序数列单调递增，求数列的通项公式．
省姜堰二中高三年级第四次模拟考试
数学试题附加题 2016.5
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21、A
B
D
E
O
C
·
A．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）
如图，为⊙的直径，直线与⊙相切于点，，，、为垂足，连接. 若，，求的长.
B．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）
已知矩阵，试求曲线在矩阵变换下的函数解析式.
C．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
已知直线l：（t为参数）恒经过椭圆C：（j为参数）的右焦点F．
（1）求m的值；
（2）当时直线l与椭圆C相交于A，B两点，求的值．
D．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）
已知正实数满足，求证：.
22、 (本小题满分10分)
自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
产假安排（单位：周）
14
15
16
17
18
有生育意愿家庭数
4
8
16
20
26
（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？
（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．
①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；
②如果用表示两种方案休假周数之和．求随机变量的分布列及数学期望．
23、(本小题满分10分)
在数列中，，其中且，且满足关系式：
.
(1)猜出数列的通项公式并用数学归纳法证明之；
(2)求证：，.
省姜堰二中高三年级第四次模拟考试
数学附加题 2016.5
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A
B
D
E
O
C
·
A．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）
如图，为⊙的直径，直线与⊙相切于点
，，、为垂足，连接. 若，
，求的长.
B．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）
已知矩阵，试求曲线在矩阵变换下的函数解析式.
C．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
已知直线l：（t为参数）恒经过椭圆C：（j为参数）的右焦点F．
（1）求m的值；
（2）当时直线l与椭圆C相交于A，B两点，求的值．
D．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）
已知正实数满足，求证：.
22、 (本小题满分10分)
自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
产假安排（单位：周）
14
15
16
17
18
有生育意愿家庭数
4
8
16
20
26
（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？
（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．
①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；
②如果用表示两种方案休假周数之和．求随机变量的分布列及数学期望．
23、(本小题满分10分)
在数列中，，其中且，且满足关系式：
.
(1)猜出数列的通项公式并用数学归纳法证明之；
(2)求证：，.
高三数学四模参考答案
1、[-1,3] 2、 3、x≥0，使x(x＋3)
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