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江西师大附中2016届高三第三次模拟考试
文科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．定义运算，若，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？（ ）
A． B． C． D．
5．在中，设，，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上是增函数
C．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到
D．函数的图象关于直线对称
7．以下四个命题中：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②若数据的方差为，则的方差为；
③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关”的把握越大．
其中真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示的程序框图中，若，，，且恒成立，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
A B C D
10．若实数满足约束条件则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知定义在上的函数满足，，且当，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知偶函数是定义在上的可导函数，其导函数为．当时，恒成立．设，记，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题～第（24）题未选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，将答案填在答题纸上
13．如图，直线是曲线在处的切线，则的值为 ．
14．已知等差数列的前项和为，若是方程的两根，则 ．
15．在平面直角坐标中，已知点，若满足条件，则动点的轨迹方程为 ．
16．已知椭圆的离心率，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的一点，直线斜倾角分别为，则的最小值为 ．
三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）如图，是直角斜边上一点，．
（Ⅰ）若，求角的大小；
（Ⅱ）若，且，求的长．
18．（本小题满分12分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图）．
（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；
（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；
19．（本小题满分12分）如图，三棱柱中，平面，，点分别为的中点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）设平面与平面的交线为，求证：．
20．（本小题满分12分）已知抛物线，过点（其中）作互相垂直的两直线，直线与抛物线相切于点（在第一象限内），直线与抛物线相交于两点．
（Ⅰ）当时，求直线的方程；
（Ⅱ）求证：直线恒过定点．
21．（本小题满分12分）已知函数（），为自然对数的底数．
（Ⅰ） 当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ） ①若存在实数，满足，求实数的取值范围；
②若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形外接于圆，是圆周角
的角平分线，过点的切线与延长线交于点，交于点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若是圆的直径，，，求的长度．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数，），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的极坐标方程是，直线与曲线的交点为，与直线的交点为，求线段的长．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．
江西师大附中2016届高三第三次模拟考试
文科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ C ）
A． B． C． D．
2．定义运算，若，则复数对应的点在（ B ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（ B ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？（ C ）
A． B． C． D．
5．在中，设，，且，则（ C ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则下列结论错误的是（ D ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上是增函数
C．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到
D．函数的图象关于直线对称
7．以下四个命题中：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②若数据的方差为，则的方差为；
③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关”的把握越大．
其中真命题的个数为（ A ）
A． B． C． D．
8．如图所示的程序框图中，若，，，且恒成立，则的最大值是（ B ）
A． B． C． D．
9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ A ）
A B C D
10．若实数满足约束条件则的最小值为（ D ）
A． B． C． D．
11．已知定义在上的函数满足，，且当，，则（ D ）
A． B． C． D．
12．已知偶函数是定义在上的可导函数，其导函数为．当时，恒成立．设，记，，，则的大小关系为（ A ）
A． B． C． D．
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题～第（24）题未选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，将答案填在答题纸上
13．如图，直线是曲线在处的切线，则的值为 ．
【命题意图】本题考查导数的几何意义和直线的斜率计算公式。
【解析】如图可知，的几何意义是表示在处切线的斜率，故，故。
14．已知等差数列的前项和为，若是方程的两根，则 ．
【命题意图】本题意在考查等差数列的性质及求和公式。
【解析】因为是方程的两根，所以，从而，
。
15．在平面直角坐标中，已知点，若满足条件，则动点的轨迹方程为 ．
【命题意图】本题考查曲线与方程，两点间距离公式。
【答案】
【解析】设点，则由条件得，
化简得。
16．已知椭圆的离心率，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的一点，直线斜倾角分别为，则的最小值为 ．
【命题意图】本题考查椭圆的方程和性质，均值不等式。
【解析】设，椭圆顶点,，
，，
又，所以，
所以，即
三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）如图，是直角斜边上一点，．
（Ⅰ）若，求角的大小；
（Ⅱ）若，且，求的长．
【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，意在考查运算能力及分析问题、解决问题的能力．
【解析】（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，有.
因为，所以………………3分
又，所以
于是，所以………………6分
（Ⅱ）设，则，，
于是，，………………9分
在中，由余弦定理，得 ，
即，得
故………………12分
18．（本小题满分12分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图）．
（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；
（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；
【命题意图】本题考查频率分布折线图、古典概型、用样本估计总体，意在考查识图能力、数据处理能力、逻辑分析能力、数学运算能力．
【解析】（Ⅰ）由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人……2分
所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约为人……5分
（Ⅱ）设“至少有1人体育成绩在”为事件，
记体育成绩在的学生为，体育成绩在的学生为，
则从这两组学生中随机抽取2人，所有可能的结果如下：
共10种 ………………………………………………9分
而事件所包含的结果有
共7种，因此事件发生的概率为 ………………………………………………12分
19．（本小题满分12分）如图，三棱柱中，平面，，点分别为的中点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）设平面与平面的交线为，求证：．
【命题意图】本题以直三棱柱为几何背景，考查空间两条直线的位置关系、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
【解析】（Ⅰ）因为平面，平面，所以…………2分
又因为，，平面，平面，
所以平面 ………………………………4分
又平面，所以平面平面 ………………………………6分
（Ⅱ）法一：连接，在中，点、
分别为、的中点，所以………………………………8分
又平面，平面，
所以平面 ………………………………10分
又因为平面，平面平面，
所以 ………………………………12分
法二：取的中点，连接、．
在中，点、分别为、的中点，
所以 ………………………………7分
又因为平面，平面，
所以平面 ………………………………8分
同理可证平面.
又因为，平面，平面，
所以平面平面 ………………………………10分
又因为平面，所以平面.
又因为平面，平面平面，
所以 ………………………………12分
20．（本小题满分12分）已知抛物线，过点（其中）作互相垂直的两直线，直线与抛物线相切于点（在第一象限内），直线与抛物线相交于两点．
（Ⅰ）当时，求直线的方程；
（Ⅱ）求证：直线恒过定点．
【命题意图】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质，直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，意在考查学生的运算求解能力.
【解析】（Ⅰ）当时，设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为,
与抛物线方程联立可得：，……………………2分
由于直线l1与抛物线C相切，所以，
求得：或，根据点在第一象限内，所以，
从而直线的方程为……………………5分
（Ⅱ）设直线l1的斜率为k，则l1直线的方程为,
与抛物线方程联立可得：，
由于直线l1与抛物线C相切，所以，解得：……………8分
故Q点坐标为Q，所以直线l1的斜率为……………10分
又l1⊥l2，故设l2的方程为：，即，
所以直线l2恒过定点(0，1) ……………12分
21．（本小题满分12分）已知函数（），为自然对数的底数．
（Ⅰ） 当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ） ①若存在实数，满足，求实数的取值范围；
②若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．
【命题意图】本题考查函数性质与导数的应用。
【解析】（Ⅰ）当时，，………1分
由于，
当时，，∴，
当时，，∴，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增……………3分
（Ⅱ） ①由得，．
当时，不等式显然不成立；
当时，；当时，……………4分
记，，
∴ 在区间和上为增函数，和上为减函数，………6分
∴ 当时，，当时，，
综上所述，所有a的取值范围为……………8分
②由①知时，，由，得，
又在区间上单调递增，在上单调递减，且，
∴，即，∴……………10分
当时，，由，得，
又在区间上单调递减，上单调递增，且，
∴，解得，
综上所述，所有的取值范围为……………12分
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形外接于圆，是圆周角的角平分线，过点的切线与延长线交于点，交于点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若是圆的直径，，，求的长度．
【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考查逻辑推证能力、转化能力、识图能力．
【解析】（Ⅰ）是圆周角的角平分线，∴，
又是圆的切线，∴，∴，
又，∴，
∴……………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
是圆的直径，∴，∴，
∴，∴，
，由（Ⅰ）知，∴，∴，
∴，则，∴
∴在中，，∴，∴，
∴在中，，所以.……………10分
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数，），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的极坐标方程是，直线与曲线的交点为，与直线的交点为，求线段的长．
【命题意图】本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化及三角恒等变换，意在
考查转化能力、运算能力。
【解析】（Ⅰ）曲线的普通方程为，又，
所以曲线的极坐标方程为………………5分
（Ⅱ）设，则有，解得，………7分
设，则有，解得，………9分
所以………10分
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．
【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．
【解析】（Ⅰ）由题意，知不等式解集为．
由，得，………………………………2分
所以，由，解得 ………………………………4分
（Ⅱ）不等式等价于，
由题意知………………………………6分
因为
所以，即对任意的都成立，
则………………8分
而，当且仅当，即时等号成立，
故，所以实数的最小值为4………………10分
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