江西师大附中2016届高三数学三模(理)试题(有答案)
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资料简介
江西师大附中高三年级三模数学(理)试卷 ‎ 命(审)题人:廖涂凡、张延良 2016.5‎ 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合,,则 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知z是纯虚数,且(i是虚数单位,),则( )‎ ‎ A.1 B. C.2 D.‎ ‎3.执行如图所示的程序框图,其输出结果是( )‎ ‎ A.61 B.62 C.63 D.64‎ ‎4.给出下列三个命题:‎ ‎①“若,则”为假命题; ‎ ‎②若∧为假命题,则,均为假命题;‎ ‎③命题:,则.其中正确的个数是( )‎ ‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎5.等比数列的前n项和为,已知,,则( )‎ ‎ A. B. C.2 D. ‎ ‎6.设,若,,则p是q的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.若的最小正周期为,,则( )‎ ‎ A. 在单调递增 B. 在单调递减 ‎ C.在单调递增 D. 在单调递减 ‎8.若x、y满足约束条件且向量,,则的取值范围是( )‎ ‎ A.[,4] B.[,5] C.[,5] D.[,4] ‎ ‎9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和(),则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值,我们知道,若令,则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值,即,若每次都取最简分数,那么第三次用“调日法”后可得的近似分数为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积等于 ‎( )cm3.‎ ‎ A.6+ B. 6 ‎ ‎ C. 4+ D.4+‎ ‎11.已知焦点在x轴上的椭圆方程为,随着a的增大该椭圆的形状( )‎ ‎ A.越接近于圆 B.越扁 C.先接近于圆后越扁 D.先越扁后接近于圆 ‎ ‎12.已知定义在上的函数和分别满足,,则下列不等式成立的是( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题:本大题共四小题,每小题5分。‎ ‎13.已知向量,,若向量的夹角为,则在方向上的投影是______.‎ ‎14.已知定义在R上的函数满足,函数关于点对称,则_________.‎ ‎15.已知,在的展开式中,项的系数为__________.‎ ‎16.对大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:仿此,若的“分裂”数中有一个是73,则的值为_____________.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在中,角的对边分别为,,且.‎ ‎(Ⅰ)求角B的大小;‎ ‎(Ⅱ)若等差数列的公差不为零,且,且成等比数列,求的前项和.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,已知长方形中,,,M为DC的中点.将沿折起,使得平面⊥平面.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)若点是线段上的一动点,问点在何位置时,二面角的余弦值为.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 为了研究某学科成绩是否与学生性别有关,采用分层抽样的方法,从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩,得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图,规定80分以上为优分(含80分).‎ ‎ ‎‎ ‎ ‎(Ⅰ)(i)请根据图示,将2×2列联表补充完整;‎ 优分 非优分 总计 男生 女生 总计 ‎50‎ ‎(ii)据此列联表判断,能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”?‎ ‎(Ⅱ)将频率视作概率,从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩,求成绩为优分人数X的期望和方差.‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附:.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的一个焦点为,左右顶点分别为,经过点的直线与椭圆交于两点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆方程;‎ ‎(Ⅱ)记与的面积分别为和,求的最大值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数,其中,为自然对数的底数.‎ ‎(Ⅰ)当时,讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当时,对任意的,比较与0的大小.‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图所示,内接于圆O,是的中点,∠的平分线分别交和圆于点,.‎ ‎(Ⅰ)求证:是外接圆的切线;‎ ‎(Ⅱ)若,,求的值.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以为极点,轴正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)写出的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设曲线经伸缩变换后得到曲线,射线()分别与和交于,两点,求.‎ ‎24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知不等式的解集为.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)设关于的方程()有解,求实数的值.‎ 江西师大附中高三年级三模数学(理)试卷 命(审)题人:廖涂凡、张延良 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合,,则【A】‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知z是纯虚数,且(i是虚数单位,),则【D】‎ ‎ A.1 B. C.2 D.‎ ‎3.执行如图所示的程序框图,其输出结果是( ) 【C】‎ ‎ A.61 B.62 C.63 D.64‎ ‎4.给出下列三个命题:‎ ‎①“若,则”为假命题; ‎ ‎②若∧为假命题,则,均为假命题;‎ ‎③命题:,则.其中正确的个数是【B】‎ ‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【解析】(1)∵命题“若,则”是真命题,所以其逆否命题亦为真命题,因此(1)不正确;(2)错误;(3)根据含量词的命题否定方式,可知命题(3)正确.‎ ‎5.等比数列的前n项和为,已知,,则【A】‎ ‎ A. B. C.2 D. ‎ ‎【解析】,所以,即,所以.‎ ‎6.设,若,,则p是q的【B】‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.若的最小正周期为,,则【D】‎ ‎ A. 在单调递增 B. 在单调递减 ‎ C.在单调递增 D. 在单调递减 ‎【解析】‎ ‎8.若x、y满足约束条件且向量,,则的取值范围是【C】‎ ‎ A.[,4] B.[,5] C.[,5] D.[,4] ‎ ‎【解析】三角形可行域的顶点是,,,=‎ 的最值必在顶点处取得,所以当时,最小值为;当时,最大值为5,选C.‎ ‎9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和(),则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值,我们知道,若令,则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值,即,若每次都取最简分数,那么第三次用“调日法”后可得的近似分数为【C】‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】:由调日法运算方法可知,第二次用调日法后得是更为精确的不足近似值,即,故第三次调日法后得到为的近似分数,选C.‎ ‎10.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积等于【A】cm3.‎ ‎ A.6+ B. 6 ‎ C. 4+ D.4+‎ ‎【解析】‎ ‎11.已知焦点在x轴上的椭圆方程为,随着a的增大该椭圆的形状【D】‎ ‎ A.越接近于圆 B.越扁 C.先接近于圆后越扁 D.先越扁后接近于圆 ‎ ‎【解析】,,由在上的单调性知先递增后递减,从而椭圆先越扁后接近于圆.选D.‎ ‎12.已知定义在上的函数和分别满足,,则下列不等式成立的是【D】‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎【解析】,,,选D.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题:本大题共四小题,每小题5分。‎ ‎13.已知向量,,若向量的夹角为,则在方向上的投影是______.‎ ‎【解析】y=,=3.‎ ‎14.已知定义在R上的函数满足,函数关于点对称,则_________.‎ ‎【解析】函数的周期为12,把函数的图象向右平移1个单位,得,因此的图象关于对称,为奇函数,.‎ ‎15.已知,在的展开式中,项的系数为__________.‎ ‎【解析】根据题意,可以求得,的展开式中,的系数为,故选B.‎ ‎16.对大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:仿此,若的“分裂”数中有一个是73,则的值为_____________.‎ ‎【解析】依题意,m增加1,累加的奇数增加1,从到,用从3开始的连续奇数共有,73是从3开始的36个奇数,当时,从3开始连续的奇数共=35,当时,从3开始的连续奇数共=44,故.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在中,角的对边分别为,,且.‎ ‎(Ⅰ)求角B的大小;‎ ‎(Ⅱ)若等差数列的公差不为零,且,且成等比数列,求的前项和.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由得,‎ 所以,………………………………3分 ‎,由,得………………………………6分 ‎(Ⅱ)设的公差为d,由(I)得,且,‎ ‎,又,,…………9分 ‎……………………12分 ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,已知长方形中,,,M为DC的中点.将沿折起,使得平面⊥平面.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)若点是线段上的一动点,问点在何位置时,二面角的余弦值为.‎ ‎【解析】(Ⅰ)证明:∵长方形ABCD中,AB=,AD=,M为DC的中点,‎ ‎∴AM=BM=2,∴BM⊥AM. ‎ ‎∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM⊂平面ABCM ‎ ‎∴BM⊥平面ADM ∵AD⊂平面ADM ∴AD⊥BM; ‎ ‎(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系,设,‎ 则平面AMD的一个法向量,,‎ 设平面AME的一个法向量为 ‎ 取y=1,得 所以,‎ 因为,求得,所以E为BD的中点.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 为了研究某学科成绩是否与学生性别有关,采用分层抽样的方法,从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩,得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图,规定80分以上为优分(含80分).‎ ‎ ‎‎ ‎ ‎(Ⅰ)(i)请根据图示,将2×2列联表补充完整;‎ 优分 非优分 总计 男生 女生 总计 ‎50‎ ‎(ii)据此列联表判断,能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”?‎ ‎(Ⅱ)将频率视作概率,从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩,求成绩为优分人数X的期望和方差.‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附:.‎ ‎【解析】(Ⅰ)根据图示,将2×2列联表补充完整如下:‎ 优分 非优分 总计 男生 ‎9‎ ‎21‎ ‎30‎ 女生 ‎11‎ ‎9‎ ‎20‎ 总计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎……………………2分 假设:该学科成绩与性别无关,‎ 的观测值,‎ ‎ 因为,所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关.……………………………………………6分 ‎(Ⅱ)由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关,因此需要将男女生成绩的优分频率视作概率………………………………8分 设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中,人数为,‎ 则服从二项分布,………………………………………………10分 则EX=……………………………12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的一个焦点为,左右顶点分别为,经过点的直线与椭圆交于两点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆方程;‎ ‎(Ⅱ)记与的面积分别为和,求的最大值.‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为为椭圆的焦点,所以,又,‎ ‎ 所以,所以椭圆方程为.……………………………………4分 ‎(Ⅱ)当直线无斜率时,直线方程为,此时,,.…5分 ‎ 当直线斜率存在时,设直线方程为,设,‎ ‎ 联立得,消掉得,‎ ‎ 显然,方程有根,且.……………………8分 ‎ 此时 ‎ .………………………………10分 因为,上式,(时等号成立),‎ 所以的最大值为.…………………………12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数,其中,为自然对数的底数.‎ ‎(Ⅰ)当时,讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当时,对任意的,比较与0的大小.‎ ‎【解析】(Ⅰ)当时,,,‎ ‎,(2分)‎ ‎∵当时,,∴.(3分)‎ ‎∴在上为减函数.…………………………4分 ‎(Ⅱ)设,,,‎ ‎ 令,,则,‎ ‎ 当时,,有,‎ ‎ ∴在上是减函数,即在上是减函数,………………6分 ‎ 又∵,,‎ ‎ ∴存在唯一的,使得,‎ ‎ ∴当时,,在区间单调递增;‎ ‎ 当时,,在区间单调递减,‎ ‎ 因此在区间上,………………9分 ‎ ∵,∴,将其代入上式得 ‎ ,……10分 ‎ 令,,则,‎ ‎ 即有,,‎ ‎ ∵的对称轴,∴函数在区间上是增函数,且,‎ ‎ ∴,‎ ‎ 即任意,,∴,‎ ‎ 因此,…………………………………………12分 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图所示,内接于圆O,是的中点,∠的平分线分别交和圆于点,.‎ ‎(Ⅰ)求证:是外接圆的切线;‎ ‎(Ⅱ)若,,求的值.‎ ‎【分析】本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想等.‎ 解析:(Ⅰ)设外接圆的圆心为,连结并延长交圆于点,连结,则,.‎ 因为平分∠,所以,所以,……………………2分 所以,‎ 所以,所以是外接圆的切线.…………………………………5分 ‎(Ⅱ)连接,则,所以是圆的直径,‎ 因为,,‎ 所以.……………………7分 因为平分∠,所以∽,‎ 所以,所以,‎ 因为,所以∽,从而,‎ 所以,‎ 所以.…………………………………………10分 ‎23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以为极点,轴正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)写出的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设曲线经伸缩变换后得到曲线,射线()分别与和交于,两点,求.‎ ‎【解析】(Ⅰ)将消去参数,化为普通方程为,‎ 即,………………………………………………………………2分 将代入,得,……………………………4分 所以的极坐标方程为.………………………………………………………5分 ‎(Ⅱ)将代入得,所以的方程为.………………7分 的极坐标方程为,.又,‎ 所以……………………10分 ‎24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知不等式的解集为.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)设关于的方程()有解,求实数的值.‎ ‎【分析】本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由得,或…………2分 解得.依题意.…………………………………………………5分 ‎(Ⅱ)因为,‎ 当且仅当时取等号,………………………………………………7分 因为关于的方程()有实数根,所以.……8分 另一方面,,所以,……………………………………………9分 所以或.………………………………………………………………10分

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