天津市河西区2015—2016学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）
数 学 试 卷（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至10页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件，互斥，那么
·棱柱的体积公式
·棱锥的体积公式
其中表示棱柱（锥）的底面面积
表示棱柱（锥）的高
·球的表面积公式
其中表示球的半径
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上所对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（2）已知回归直线的斜率的估计值是，样本点的中心为，，则回归直线方程是
（A） （B）
（C） （D）
（3）如图所示的程序框图，若输入的，的值分别为，，则输出的的值为
（A）4
（B）
（C）
（D）
（4）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是
（A） （B）
（C） （D）
（5）若实数，满足，则的最小值为
（A） （B）
（C） （D）
（6）双曲线，与抛物线有一个公共焦点，双曲线上过点且垂直于轴的弦长为，则双曲线的离心率为
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知定义在上的函数，则三个数，，的大小关系为
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知函数，则函数在区间，内的零点个数为
（A） （B）
（C） （D）
河西区2015—2016学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）
数 学 试 卷（文史类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上.
2．本卷共12小题，共110分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
（9）某服装设计公司有1200名员工，其中老年、中年、青年所占的比例为，公司十年庆典活动特别邀请了5位当地的歌手和公司的36名员工同台表演节目，其中员工按老年、中年、青年进行分层抽样，则参演的中年员工的人数为 .
（10）若直线与圆相切，则 .
（11）已知向量a，b，且|a|，a与b的夹角为，aa－b，则|b|= .
（12）利用计算机在区间，上产生随机数，则不等式成立的概率为 .
（13）http://www.ks5u.com/如图，梯形内接于⊙，∥，过点
引⊙的切线分别交、的延长线于、，已知
，，，则 .
（14）将函数（）的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则的最小值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）
在中，，，所对的边分别为，，，，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
（16）（本小题满分13分）
http://www.ks5u.com/已知甲、乙两种不同品牌的管材都可截成、、三种规格的成品配件，且每种管同时截得三种规格的成品个数如下表：
A规格成品（个）
B规格成品（个）
C规格成品（个）
品牌甲（根）
2
1
1
品牌乙（根）
1
1
2
现在至少需要、、三种规格的成品配件分别是6个、5个、6个，若甲、乙两种管材的价格分别是20元/根、15元/根，求完成以上数量的配件所需的最低成本.
（17）（本小题满分13分）
如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，
，，、分别是、的中点.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的正切值.
（18）（本小题满分13分）
设椭圆：的焦点在轴上.
（Ⅰ）若椭圆的焦距为，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上第一象限内的点，直线
交轴于点，并且，证明：当变化时，点在直线
上.
（19）（本小题满分14分）
在数列中，其前项和为，满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设（为正整数），求数列的前项和．
（20）（本小题满分14分）
已知函数是定义在，，上的奇函数，当，时, （）.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）设，，，求证：当时，恒成立；
（Ⅲ）是否存在实数，使得当，时，的最小值是？如果存在，
求出实数的值；如果不存在，请说明理由.
河西区2015—2016学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）
数学试卷（文史类）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
DCDA CBCB
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9） （10）或 （11） （12） （13） （14）
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
（15）（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由正弦定理，，
所以，即， …………3分
由余弦定理，，又，，
解得. …………6分
（Ⅱ）解：由余弦定理，，
所以，
则，
， …………10分
所以. …………13分
（16）（本小题满分13分）
解：设需要甲种管材根、乙种管材根，成本为元， …………2分
由题意，满足， …………5分
可行域如图所示，
…………7分
把变形为，得到斜率为，在轴上截距为的一族平行直线.由图可以看出，当直线经过可行域上的点时，截距最大. …………8分
解方程组，得点的坐标为，， …………10分
所以元， …………12分
答：需要甲种管材根，乙种管材根，最低成本为元. …………13分
（17）（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：取的中点为，连接、，
则∥且，
又是的中点，
所以在矩形中，∥且，
∥且，
所以四边形是平行四边形，
所以∥， …………3分
又平面，平面，
所以∥平面. …………4分
（Ⅱ）解：连接，
因为平面，
所以是直线与平面所成的角， …………6分
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为. …………8分
（Ⅲ）解：作交的延长线于点，连接，
易知，
所以是二面角的平面角， …………11分
由∽可得，
所以，
即二面角的正切值为. …………13分
（18）（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为椭圆的焦点在轴上且焦距为，
所以，解得， …………2分
椭圆的方程为. …………4分
（Ⅱ）解：设，，，，，，其中，
由题意，，则直线的斜率，直线的斜率，
故直线的方程为，
当时，，即点的坐标为，， …………7分
因此直线的斜率为， …………8分
因为，所以，
化简得， …………10分
代入椭圆方程，因为点是椭圆上第一象限内的点，
所以，， …………12分
即点在定直线上. …………13分
（19）（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：因为，
所以，
所以， …………3分
当时，，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，. …………5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，
所以
， …………8分
设，
则，
两式相减得：
整理得： …………12分
所以. …………14分
（20）（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：设，则，所以，
又因为是定义在上的奇函数，所以，
故函数的解析式为. …………3分
（Ⅱ）证明：当且时，
，，设，
因为，
所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增，
所以，
又因为，
所以当时，，此时单调递减，
所以，
所以当时，即. …………8分
（Ⅲ）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是，
则， …………9分
（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，
，不满足最小值是，
（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，
，也不满足最小值是，
（ⅲ）当，由于，则，故函数 是上的增函数，
所以，解得（舍去），
（ⅳ）当时，则当时，，此时函数
是减函数；当时，，此时函数是增函数，
所以，解得， …………13分
综上可知，存在实数，使得当时，有最小值. …………14分
微信/支付宝扫码支付