天津市河西区2015—2016学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）
数 学 试 卷（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至10页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件，互斥，那么
·如果事件，相互独立，那么
·棱柱的体积公式
·棱锥的体积公式
其中表示棱柱（锥）的底面面积
表示棱柱（锥）的高
·球的表面积公式
其中表示球的半径
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上所对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（2）已知回归直线的斜率的估计值是，样本点的中心为，，则回归直线方程是
（A） （B）
（C） （D）
（3）如图所示的程序框图，若输入的，的值分别为，，则输出的的值为
（A）4
（B）
（C）
（D）
（4）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是
（A） （B）
（C） （D）
（5）双曲线，与抛物线有一个公共焦点，双曲线上过点且垂直于轴的弦长为，则双曲线的离心率为
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知曲线的参数方程为（为参数且，），点，在曲线上，则的最大值是
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知定义在上的函数，则三个数，，的大小关系为
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知函数，若方程在区间，内有个不等实根，则实数的取值范围是
（A） （B）或
（C）或 （D）
河西区2015—2016学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）
数 学 试 卷（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上.
2．本卷共12小题，共110分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
（9）某服装设计公司有1200名员工，其中老年、中年、青年所占的比例为，公司十
年庆典活动特别邀请了5位当地的歌手和公司的36名员工同台表演节目，其中员工按老年、中年、青年进行分层抽样，则参演的中年员工的人数为 .
（10）函数（）图象的一条对称轴为直线，则 .
（11）已知等差数列的前项和为，，则公差等于 .
（12）设，则的展开式的二项式系数和为 .
（13）http://www.ks5u.com/如图，梯形内接于⊙，∥，过点
引⊙的切线分别交、的延长线于、，已知
，，，则 .
（14）http://www.ks5u.com/如图，四边形是边长为的正方形，，点为内（含边界）的动点，设（，），则的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）
在中，，，所对的边分别为，，，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求，，.
（16）（本小题满分13分）
美国篮球职业联赛（NBA）的总决赛采用的是七场四胜制，即若有一队先胜四场，则该队获胜，比赛就此结束.2015年的总决赛是在金州勇士队和克里夫兰骑士队之间展开的.假设在一场比赛中，金州勇士队获胜的概率为，克里夫兰骑士队获胜的概率是，各场比赛结果相互独立.已知在前场比赛中，双方各胜场.
（Ⅰ）求金州勇士队获得NBA总冠军的概率；
（Ⅱ）设两队决出NBA总冠军还需要比赛的次数为，求的分布列和数学期望.
（17）（本小题满分13分）
如图，四边形是梯形，∥，，四边形为矩形，已知，，，，.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点是线段上的一个动点（端点除外），试判断直线与直线能
否垂直？并说明理由.
（18）（本小题满分13分）
设椭圆：的焦点在轴上.
（Ⅰ）若椭圆的焦距为，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上第一象限内的点，直线
交轴于点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上.
（19）（本小题满分14分）
数列满足，且时，.
（Ⅰ）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的
取值范围；
（Ⅲ）设数列的前项和为，求证：对任意的正整数都有.
（20）（本小题满分14分）
已知函数是定义在，，上的奇函数，当，时, （）.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）设，，，求证：当时，恒成立；
（Ⅲ）是否存在实数，使得当，时，的最小值是？如果存在，
求出实数的值；如果不存在，请说明理由.
河西区2015—2016学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）
数学试卷（理工类）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
DCDA BDCB
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9） （10） （11） （12） （13） （14）
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
（15）（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由正弦定理，， …………2分
所以，即，
解得，即. …………6分
（Ⅱ）解：由，得， …………8分
由（Ⅰ）得，即得， …………10分
则有，解得. …………13分
（16）（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设金州勇士队获得NBA总冠军的事件为
…………6分
（Ⅱ）解：随机变量的取值为2，3， …………7分
，
随机变量的分布列为：
2
3
…………11分
的数学期望是. …………13分
（17）（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：由四边形为矩形，得∥，
又因为平面，平面，所以∥平面，
同理∥平面，，所以平面∥平面， …………3分
又平面，所以∥平面. …………4分
（Ⅱ）解：在平面中，∥，，所以，
又因为，，所以平面，
所以，
又因为四边形为矩形，且底面中与相交一点，
所以平面，因为∥，所以平面， …………6分
过在底面中作，所以，，两两垂直，以，，分别为轴、轴、轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，，，，，，
，，，
则，，，，，，
设平面的一个法向量m，，，
由，即，
取，得m，，，
平面的法向量n，，，
所以，
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. …………9分
（Ⅲ）解：设，，所以，，，
所以，，，，，，
若，则，解得， …………12分
这与矛盾，所以直线与直线不可能垂直. …………13分
（18）（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为椭圆的焦点在轴上且焦距为，
所以，解得， …………2分
椭圆的方程为. …………4分
（Ⅱ）解：设，，，，，，其中，
由题意，，则直线的斜率，直线的斜率，
故直线的方程为，
当时，，即点的坐标为，， …………7分
因此直线的斜率为， …………8分
因为，所以，
化简得， …………10分
代入椭圆方程，因为点是椭圆上第一象限内的点，
所以，， …………12分
即点在定直线上. …………13分
（19）（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：由题意，，所以，，
所以，而，则， …………2分
因此数列是首项为，公比为的等比数列，
，即. …………4分
（Ⅱ）解：由时，不等式恒成立，
得， …………5分
令，
则，又单调递减，得，
所以，即，
所以数列单调递减，有，则，
因此的取值范围是，. …………9分
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，得， …………12分
所以，
所以. …………14分
（20）（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：设，则，所以，
又因为是定义在上的奇函数，所以，
故函数的解析式为. …………3分
（Ⅱ）证明：当且时，
，，设，
因为，
所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增，
所以，
又因为，
所以当时，，此时单调递减，
所以，
所以当时，即. …………8分
（Ⅲ）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是，
则， …………9分
（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，
，不满足最小值是，
（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，
，也不满足最小值是，
（ⅲ）当，由于，则，故函数 是上的增函数，
所以，解得（舍去），
（ⅳ）当时，则当时，，此时函数是减函数；当时，，此时函数是增函数，
所以，解得， …………13分
综上可知，存在实数，使得当时，有最小值. …………14分
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