《2016高考理数预测密卷》新课标II卷
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分
考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 已知为虚数单位，复数，与共轭，则等于( )
A.1 B.2 C. D.0
2. 已知集合 ,，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
3. 某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（ ）.
A.60 B.90 C. 150 D.120
4. 下列命题中的假命题为（ ）
A.设α、β为两个不同平面，若直线l在平面α内，则“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件;
B. 设随机变量服从正态分布，若，则 ;
开始
s=0，n=1
?
s=s+
n= n +1
输出s
结束
是
否
C. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.
D. .
5.阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（ ）
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于， 则抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
7.函数（为自然对数的底数）的图像可能是（ ）
8．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则截面所在平面与底面所在平面所成的锐二面角的正切值为（ ）
A．2 B． C． D．
9.若的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0，π]和内任取两个实数x，y，满足y>sinx的概率为（ ）
A. B． C． D．
10.函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
11．如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，.若有
，则在正方形的四条边上，使得成立的点P有（ ）个.
A.2 B.4 C.6 D.0
12.已知双曲线x2﹣y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）,则 x2﹣x1的最小值为（ ）
A. B.2 C.4 D.
第Ⅱ卷（13-21为必做题，22-24为选做题）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）
13.设是数列的前项和，，且,则数列的通项公式为____________.
14．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表
x
165
160
175
155
170
y
58
52
62
43
根据上表可得回归直线方程为，则表格中空白处的值为____________.
15．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，则m的最小值为__________.
16. 若函数f（x）=x2+ln（x+a）（a>0）与g（x）=x2+ex﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点，则关于的方程解的个数是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）
已知△ABC的面积为S，且,.
(Ⅰ)若的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为2，且，求△ABC的面积S；
（Ⅱ）求S+3cosBcosC的最大值．
18. （本小题满分12分）
如图：已知平面平面,平面平面，AB∥CD，AB=BC=4，CD=2，△BEC为等边三角形，P是线段CD上的动点.
P
（1）求证：平面ABE⊥平面ADE；
（2）求直线AB与平面APE所成角的最大值；
（3）是否存在点，使得？请说明理由．
19. （本小题满分12分）
2016年国家已全面放开“二胎”政策，但考虑到经济问题，很多家庭不打算生育二孩，为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关，现随机抽查了某四线城市50个一孩家庭，它们中有二孩计划的家庭频数分布如下表:
家庭月收入
（单位：元）
2千以下
2千~5千
5千~8千
8千~一万
1万~2万
2万以上
调查的总人数
5
10
15
10
5
5
有二孩计划的家庭数
1
2
9
7
3
4
(I)由以上统计数据完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关？说明你的理由．
收入不高于8千的家庭数
收入高于8千的家庭数
合计
有二孩计划的家庭数
无二孩计划的家庭数
合计
(II)若二孩的性别与一孩性别相反，则称该家庭为“好字”家庭，设每个有二孩计划的家庭为“好字”家庭的概率为，且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响，设收入在8千~1万的3个有二孩计划家庭中“好字”家庭有X个，求X的分布列及数学期望．
下面的临界值表供参考：
20. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.
求椭圆的方程.
（Ⅱ）直线是圆的任意一条切线，与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆的方程，并求出的取值范围。
21. （本小题满分12分）
已知,且曲线在点处的切线斜率为.
（1）求实数的值；
（2）设在其定义域内有两个不同的极值点，，且，已知,若不等式恒成立,求的范围.
选做题：请考生在22~24三题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分.
22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，已知：是以为直径的半圆上一点，⊥于点，直线与过点的切线相交于点，为中点，连接交于点，
（Ⅰ）求证：FC是⊙的切线 ；
（Ⅱ）若FB=FE,⊙的半径为，求FC.
23. (本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程.
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．
（I）写出直线的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）在圆上求一点，使它到直线的距离最短，并求出点的直角坐标.
24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知，且．
（1）求证：；
（2）若使得对一切实数不等式恒成立，求m的取值范围．
《2016高考理数预测密卷》新课标II卷
一、选择题
1【答案】B.
【解析】,,,.
考点：复数的除法，共轭复数，复数的模长.
2【答案】D.
【解析】M ＝，N ＝，又U ＝R∴，
∴.
3【答案】B.
【解析】
考点：排列组合综合应用.
4【答案】D.
【解析】,反之不成立，故A为真命题.
B. ,,从而.
故B命题为真命题.
C. 函数的图象向左平移个单位长度得
，故命题C为真命题;
D.设，则∴单调递增，，即：
.故命题D为假命题.
考点：两平面的位置关系判断，正态分布，三角函数的图象变换，导数的应用.
5【答案】A.
【解析】前6步的执行结果如下：
s=0,n=1;
s=,n=2;
s=0,n=3;
s=0,n=4;
s=,n=5;
s=0,n=6
观察可知，s的值以3为周期循环出现，∴判断条件为?时，s=符号题意.
考点:算法和程序框图,循环结构.
6【答案】D.
【解析】作可行域：由题知：所以
抛物线，即：，准线方程为：.
7【答案】A
【解析】由解析式知函数为偶函数，故排除B、D,又故选A.
考点：函数的奇偶性，函数的图象.
8【答案】B.
【解析】如图建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0),E(0，0，2),D(0，2，4),C(2，0，0)
,
设平面DEC的法向量为，则
即：
又为平面ABC的法向量，
设所求二面角为，则,从而.
考点：三视图，二面角计算.
9.【答案】B.
【解析】由题意知，，解得 n=4,∴0≤x≤π，0≤y≤1.
作出对应的图象如图所示：
则此时对应的面积S=π×1=π，
满足的点构成区域的面积为：
S=sinxdx=﹣cosx=﹣cosπ+cos0=2，
则满足y>sinx的概率为.
考点：赋值法求二项展开式的各项系数和，几何概型，定积分.
10【答案】A.
【解析】函数定义域为，
，令 ，
则 ，由，得，
则时，；时，，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以，
即， 所以在上是增函数，
即的增区间为．
考点：二次求导判断复杂函数的单调性.
11【答案】B.
【解析】
若P在AB上，;
若P在CD上，;
若P在AE上，;
同理，P在BF上时也有；
若P在DE上，;
同理，P在CF上时也有
所以，综上可知当 时，有且只有4个不同的点P使得成立。
考点：平面向量基本定理及向量的数量积运算.
12.【答案】A.
【解析】
∵与圆相切，∴∴m2=1+k2.
由，得（1﹣k2）x2﹣2mkx﹣（m2+1）=0，
∴，
∴k2＜1，∴﹣1＜k＜1，故k的取值范围为（﹣1，1）．
由于，
∵0≤k2＜1∴当k2=0时，x2﹣x1取最小值．
考点：直线与圆及双曲线的位置关系综合应用.
二、填空题
13.【答案】.
【解析】当时，，解得；
当时，，
整理，得．
因为，所以，即，
所以是以3为首项，3为公差的等差数列，所以，即．
考点：根据与的关系求数列的通项公式.
14.【答案】60.
【解析】根据回归直线经过样本中心可得，表格中空白处的值为60.
考点：线性回归.
15．【答案】.
【解析】如图所示，，，过作准线的垂线，垂足是，由对称性，不妨令在第一象限，∴，∴问题等价于求的最小值，
而，当且仅当时等号成立，
所以，，即：.
考点：1.抛物线的标准方程及其性质；2.基本不等式求最值；3.双曲线的标准方程及其性质．
16.【答案】1.
【解析】若函数f（x）=x2+ln（x+a）(a>0)与g（x）=x2+ex﹣（x＜0）图象上存在关于y轴对称的点，则等价为g（x）=f（﹣x），在x＜0时，方程有解，
即x2+ex﹣=x2+ln（﹣x+a），即ex﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，
令m（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a），
则m（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，
∵a＞0 ∴ex﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为：e0﹣﹣ln（a）＞0，
即lna＜，故0＜a＜．
令，，，单调递增，时，，时, .
有一个解
考点：函数与方程的应用，求双曲线的离心率的取值范围.
三、解答题
17.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）∵的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为T，，即：，解得，，，即：，B是△ABC的内角，，
又，设△ABC的三个内角的对边分别为，
，，从而△ABC是直角三角形，
由已知得，，从而，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
设△ABC的外接圆半径为R，则2R===2，解得R=，
∴S+3cosBcosC=bcsinA+3cosBcosC=bc+3cosBcosC
=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B﹣C），
故的最大值为．
考点：三角函数的图象与性质，正弦定理，三角恒等变换及解三角方程.
18. 【答案】(1) 见解析；（2）；（3）不存在.
【解析】
(1) ∵平面平面=BC ，在平面内作,则平面BCE，
P
同理，在平面ABE内作,则平面BCE，
∴,即AM,AN重合，平面BCE，
取BE、AE中点O、F，连结OC、OF，以O为原点，
OE、OC、OF为x，y，z轴建立坐标系，
则A（﹣2，0，4），B（﹣2，0，0），,
,E(2，0，0)，
可得平面ABE的法向量为
设面ADE的一个法向量为
则可得
从而,平面ABE⊥平面ADE.
(2) 设|CP|=d,则，设面APE的一个法向量为
则可得.
设直线AB与面ADE所成角为θ，
则，所以，
从而直线AB与平面APE所成角的最大值为.
(3)由（2）知，，则，,d=-40 ②
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个解，由韦达定理得：
x1+x2=-,x1x2= y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
∵以AB为直径的圆恒过原点 ∴⊥ ∴x1x2+y1y2=0 ∴+=0
∴3m2-8-8k2=0 3m2=8(1+k2) 又∵m2=(1+k2)r2 ∴3(1+k2)r2=8(1+k2)
∴r2= 此时m2=(1+k2) 代入②式后成立
∴圆的方程为x2+y2=
此时|AB|=·=·=··=··=·=·=·
(i)若k=0，则|AB|=
(ii)若k≠0,则|AB|=·Î(,2]
综上，圆O的方程为x2+y2=，|AB|的取值范围是[,2].
考点：椭圆的几何性质，直线与圆，直线与椭圆的位置关系综合应用.
21．【答案】(1)m=0;(2) .
【解析】 (1)
由题意知，，即：m+1=1,解得 m=0.
(2) 因为等价于．
由题意可知分别是方程,即:的两个根，
即，
所以原式等价于，
因为，，所以原式等价于．
又由，作差得，，即．
所以原式等价于，
因为，原式恒成立，即恒成立．令，，
则不等式在上恒成立．
令，又，
当时，可见时，，所以在上单调增，又，
在恒成立，符合题意．
当时，可见时，，时，
所以在时单调增，在时单调减，又，
所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去．
综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以．
考点：导数的几何意义，应用导数求最值.
22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）FC=1.
【解析】
（Ⅰ）证明：连接OC.
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°,
又∵F是BD中点，∴∠BCF=∠CBF,
又OC=OB ∴，
从而,即：, FC是⊙O的切线.
（Ⅱ）延长直线CF交直线AB于点G，
由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，
又,
∴
从而△AGF是等腰三角形, .
由切割线定理得：. ……①
在Rt△BGF中，由勾股定理得： ……②
由①、②得：FC=1
考点：圆的切线的判定，切割线定理，平行线的性质定理.
23【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）消去参数得,直线的普通方程为;
由，得，从而有，所以
（Ⅱ）因为点在圆上，所以可设点，
所以点到直线的距离为
．
因为，所以当时，．
此时，所以点的坐标为.
考点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，圆的参数方程的应用.
24【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（Ⅰ）
所以 ,当且仅当时等号成立;
（Ⅱ）由题意得
由（Ⅰ）知，
又，∴，m的取值范围为：.
考点：基本不等式，绝对值不等式的性质，恒成立，能成立综合问题.
典题透析：《2016高考理数预测密卷》新课标II卷第21题
原题：21. 已知,且曲线在点处的切线斜率为.
（1）求实数的值；
（2）设在其定义域内有两个不同的极值点，，且，已知,若不等式恒成立,求的范围.
【透析】 本题考察了导数的几何意义，函数极值的概念，不等式恒成立问题，这些都是高考常见问题。此题（1）中直接由导数的几何意义得到m的值，属于基础题；（2）中首先由极值概念得到方程的解，然后对所给不等式变形构造函数，利用导数判断函数单调性，通过单调性讨论得到所求范围，这样考察了学生的变形整理构造函数的能力，分类讨论的能力，
具体过程如下：
(1)
由题意知，，即：m+1=1,解得 m=0.
(2) 因为等价于．
由题意可知分别是方程,即:的两个根，
即，
所以原式等价于，
因为，，所以原式等价于．
又由，作差得，，即．
所以原式等价于，
因为，原式恒成立，即恒成立．令，，
则不等式在上恒成立．
令，又，
当时，可见时，，所以在上单调增，又，
在恒成立，符合题意．
当时，可见时，，时，
所以在时单调增，在时单调减，又，
所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去．
综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以．
微信/支付宝扫码支付