湖北省黄冈中学2016年春季期中联考高二数学试题（理）
试卷满分：150分
一、选择题：（共12题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．下列语句中是命题的是（ ）
A．你是鄂东南教学改革联盟学校高二的学生吗？
B．x2＋5x＋1＞0
C．cos45°＝1
D．请坐下
2．已知A（2，3，－1），B（2，6，2），C（1，4，－1），则向量的夹角为（ ）
A．45° B．90°
C．30° D．60°
3．在平行六面体ABCD—EFGH中，若，则x＋y＋z等于（ ）
A． B．
C． D．
4．己知条件p：x2＋4x－5＞0，条件q：x＞a，且的一个充分不必要条件是，则a的取值范围是（ ）
A．（－∞，1] B．[1，＋∞）
C．[－5，＋∞） D．（－∞，－5]
5．已知曲线上一点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．下面的命题中是假命题的是（ ）
A．两个平面的法向量所成的角不一定是这两个平面所成的角
B．设空间向量为非零向量，若，则为锐角或零角
C．动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹不一定是椭圆
D．若命题p：存在x0∈R，x02＋2x0＋2＜0，则为，x2＋2x＋2＞0
7．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝4的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且经过点A（2，0），则椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
9．在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）
A．5 B．4
C．3 D．0
10．一汽车沿直线轨道前进，刹车后汽车速度为v（t）＝20－2t，则汽车刹车后第二个4s内经过的路程是（ ）
A．27 B．32
C．81 D．13.5
11．已知函数f（x）＝2x2＋alnx，若对任意两个不等的正数x1，x2（x1＞x2），都有f（x1）－f（x2）＞8（x1－x2）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥4 B．a≥3
C．a≥2 D．以上答案均不对
12．已知x，y之间满足，下列命题中正确的个数是（ ）
（1）方程表示的曲线经过点，则b＝2；
（2）动点（x，y）在曲线上变化，则x2＋2y的最大值为；
（3）由能确定一个函数关系式y＝f(x）；
（4）方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，点（1，2）在该椭圆外，则b成立的等价范围是．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在空间直角坐标系O－xyz中，已知平面α的一个法向量是，且平面α过点A（2，3，1）．若P（x，y，z）是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是__________．
14．已知常数a、b、c都是实数，f（x）＝ax3＋bx2＋2cx＋5的导函数为f′（x），f′（x）≤0的解集为{x|－1≤x≤2}，若f（x）的极小值等于－105，则a的值是__________．
15．抛物线x2＝my的准线与直线y＝2的距离为3，则此抛物线的方程为__________.
16．在一个平行六面体中，以A为端点的三条棱长都相等，均为2，且的夹角均为30°，那么以这个顶点A为端点的平行六面体的体对角线的长度为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆（x－5）2＋y2＝16相切．
（1）求双曲线的离心率；
（2）P（3，－4）是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程．
18．（12分）己知命题p：在x∈[－2，－1]时，不等式x2＋ax－2＞0恒成立；命题q：存在x∈[－3，1]使得关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥a成立，若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．
19．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝4AB，F为CD的靠近C的四等分点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）请问：平面BCE与平面CDE是否互相垂直？请证明你的结论．
20．（12分）2016年2月8日深夜，香港发生“旺角暴乱”，给香港经济造成很大损失，为了挽回经济损失，某厂家拟在新年举行大型的促销活动，经测算某产品销售价格x（单位：元/件）与销售量y（单位：万件）满足关系式，其中2＜x＜5，a为常数．己知销售价格为3元时，销售量10万件．
（1）求a的值；
（2）若该商品的成本为2元/件，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
21．（12分）已知△ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A在y轴的正半轴上，由方程可得出y的增长速度与x的增长速度之比为a，椭圆短轴长为．
（1）试求椭圆的方程；
（2）若以BC为直径的圆过点A，求证：直线BC恒过定点．
22．（12分）已知函数，g（x）＝lnx，
（1）如果函数y＝f（x）在[2，＋∞）上是单调减函数，求a的取值范围；
（2）若a＝24时，求证：；
（3）是否存在实数a＞0，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案与解析：
1、C
解析：只有C语句能判断真假，故选C．
2、D
解析：，
，选D．
3、D
解析：，
．
4、B
解析：p：x＜－5或x＞1，：－5≤x≤1．q：x＞a，：x≤a．
，，∴a≥1．
5、D
解析：．
6、D
解析：为，x2＋2x＋2≥0．
7、C
解析：
．
8、D
解析：①若a＝2，则b＝1，此时方程为；②若b＝2，则a＝4，此时方程为．
9、D
解析：．∴0≤x2－6＜1，∴6≤x2＜7，不存在这样的整数x．
10、B
解析：．
11、A
解析：令g（x）＝f（x）－8x，依题意有只要g（x）在x∈（0，＋∞）上单调递增即可，∴g（x）＝2x2＋alnx－8x，，∴a≥－4x2＋8x＝－4（x－1）2＋4恒成立，∴a≥4．
12、B
解析：对于（1）来说将代入方程得，故错误；
对于（2），．∵－b≤y≤b，
①若时，；
②若时，，故错误，
对于（3），不是一个函数；
对于（4），，故选B．
13、x＋y－2z－3＝0
解析：，
∴x＋y－2z－3＝0．
14、11
解析： f′（x）＝3ax2＋2bx＋2c＝3a（x＋1）（x－2）＝3a（x2－x－2）＝3ax2－3ax－6a，，f（x）min＝f（2）＝8a＋4b＋4c＋5＝8a－6a－12a＋5＝－10a＋5＝－105．∴a＝11．
15、x2＝4y或x2＝－20y
解析：设准线方程为y＝a，∴|a－2|＝3，∴a＝5或a＝－1，∴x2＝－20y或x2＝4y．
16、
解析：
17、解：（1）设位于一、三象限内的渐近线的倾斜角为α，则，
，（2分）
若双曲线焦点在x轴上，；
若双曲线焦点在y轴上，．
故所求的．（5分）
（2）由题意设F1（－c，0），F2（c，0），由PF1⊥PF2有．
∴（3＋c）（3－c）＋16＝0，∴c＝5，又由（1）知：，a2＋b2＝c2＝25，
∴a＝3，b＝4，双曲线的方程为：．（10分）
18、解：若命题p为真命题，则由x2＋ax－2＞0得在x∈[－2，－1]上恒成立，设，f（x）在[－2，－1]上是减函数，则－1≤f（x）≤1，所以a＜－1．（3分）
若命题q为真命题，设y＝x3－3x2－9x＋2，则y′＝3x2－6x－9，令y′＝3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3，∵3[－3，1]，∴x2＝3（舍），（5分），
令f′（x）＞0得－3＜x＜－1，令f′（x）＜0得－1＜x＜1，故f（x）在（－3，－1）上递增，在（－1，1）上递减，∴f（x）的极大值为f（－1）＝－1－3＋9＋2＝7.（7分）
∵f（－3）＝－27－27＋27＋2＝－25，f（1）＝1－3－9＋2＝－9，∴y＝x3－3x2－9x＋2在x∈[－3，1]上的最大值为7，最小值为－25，∴a≤7．（9分）
当命题p与q同时为假命题时有解得a＞7．（11分）
则命题p与q至少有一个命题是真命题，即命题“p∨q”是真命题时有a≤7．（12分）
19、解：方法一：设AD＝DE＝4AB＝4a．
建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则A（0，0，0），B（0，0，a），C（4a，0，0），，（2分）
∵F为CD的靠近C的四等分点，，
．（4分）
（1）证明：，，
，AF平面BCE，∴AF//平面BCE．
（2）平面BCE与平面CDE不垂直．证明如下：
证明：，取CD中点T，
易得，
，（9分）
即平面BCE不垂直于平面CDE．（12分）
方法二：（1）取CE的靠近C的四等分点N，连BN、FN即可．
（2）同方法一一样取CD中点T，再证明AT⊥面ECD，易得AF∥BN，而AF与AT相交不平行，易证平面BCE不垂直于平面CDE．
方法三：求出BCE的一个法向量，再求出平面CDE的一个法向量，易得，由此得平面BCE不垂直于平面CDE．
20、解：（1）因为x＝3时，y＝10，，a＝2．（4分）
（2）由（1）可知，该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获利的利润
．（6分）
从而，f′（x）＝2[（x－5）2＋2（x－2）（x－5）]＝6（x－5）（x－3）．（8分）
于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
由上表可得，x＝3是函数f（x）在区间（2，5）内的极大值点，也是最大值点．（10分）
所以，当x＝3时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于10．（11分）
答：当销售价格为3元/件时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．（12分）
21、（Ⅰ）由方程可得y与x的增长速度之比为．（2分）
由椭圆短轴长为得b＝4，（4分）
故所求的椭圆方程为，即4x2＋5y2＝80．（5分）
（Ⅱ）由AB⊥AC，得（6分）
设直线BC方程为y＝kx＋t，代入4x2＋5y2＝80，得
（4＋5k2）x2＋10tkx＋5t2－80＝0，．（8分）
，（9分）
．（8分）
代入（2）式得：，解得t＝4（舍）或，适合△＞0．（11分）
故直线BC过定点．（12分）
22、（1）当a＝0时，f（x）＝2x在[2，＋∞）上是单调增函数，不符合题意，舍去，显然a＞0不符合题意，舍去．
当a＜0时y＝f（x）的对称轴方程为，由于y＝f（x）在[2，＋∞）上是单调减函数，所以，由a＜0，解得a≤－1，所以a≤－1．（3分）
（2）当x>0时，令h（x）＝12x2＋2x－lnx，则，时，h′（x）＜0；时，h′（x）＞0，∴h（x）在上递减，在上递增，∴h（x）的最小值为，即，移项，两边取指数得，即．
当x≤0时，．（7分）
（3）把方程整理为，
即为方程ax2＋（1－2a）x－lnx＝0.（8分）
设H（x）＝ax2＋（1－2a）x－lnx（x＞0），原方程在区间内有且只有两个不相等的实数根，即函数H（x）在区间内有且只有两个零点．（9分）
令H′（x）＝0，因为a＞0，解得x＝1或（舍），当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；当x∈（1，＋∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．
H（x）在内有且只有两个不相等的零点，只需（11分）
，故a的范围为．（12分）
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