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22.1.2 二次函数的图象和性质
学校：___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共 15 小题）
1．当 ab＞0 时，y=ax2 与 y=ax+b 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，二次函数 y=a（x﹣h）2+k（a＜0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．一次函数 y=ax+b（a≠0）与二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图
象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．若一次函数 y=ax+b 的图象经过一、二、四象限，则函数 y=ax2+bx 的图象只可能是（ ）
A． B． C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b 和二次函数 y=ax2+bx+c 的图象可能为（ ）2
A． B．
C． D．
6．二次函数 y=（x+1）2﹣2 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=bx+c 在坐标系中的大致图象是
（ ）
A． B． C． D．
8．如果在二次函数的表达式 y=ax2+bx+c 中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象
可能是（ ）3
A． B． C． D．
9．一次函数 y=ax+c 的图象如图所示，则二次函数 y=ax2+x+c 的图象可能大致是（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线 y=3（x﹣1）2+1 的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
11．下列对二次函数 y=x2﹣x 的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是 y 轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
12．抛物线 y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）
13．抛物线 y=x2﹣2x+2 的顶点坐标为（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，3）
14．关于二次函数 y=﹣（x+1）2+2 的图象，下列判断正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 x=1
C．图象有最低点 D．图象的顶点坐标为（﹣1，2）
15．抛物线 y=﹣（x﹣4）2﹣5 的顶点坐标和开口方向分别是（ ）
A．（4，﹣5），开口向上 B．（4，﹣5），开口向下
C．（﹣4，﹣5），开口向上 D．（﹣4，﹣5），开口向下
二．填空题（共 5 小题）4
16．抛物线 y=ax2+bx+c 的大致图象如图，则 b 的取值范围是 ．
17．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y=ax 2；②y=bx2；③y=cx2；④
y=dx2．则 a、b、c、d 的大小关系为 ．
18．如图，⊙O 的半径为 2，C1 是函数 y=2x2 的图象，C2 是函数 y=﹣2x2 的图象，则图中阴影
部分的面积为 ．
19．抛物线 y=2（x+2）2+4 的顶点坐标为 ．
20．已知二次函数 y=x 2 ，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而 （填“增大”或“减
小”）．
三．解答题（共 4 小题）
21．某班“数学兴趣小组”对函数 y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，
请补充完整．
（1）自变量 x 的取值范围是全体实数，x 与 y 的几组对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …
其中，m= ．5
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，
请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与 x 轴有 个交点，所以对应的方程 x2﹣2|x|=0 有 个实数根；
②方程 x2﹣2|x|=2 有 个实数根；
③关于 x 的方程 x2﹣2|x|=a 有 4 个实数根时，a 的取值范围是 ．
22．如表给出一个二次函数的一些取值情况：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）根据图象说明：当 x 取何值时，y 的值大于 0？6
23．已知抛物线 y=﹣x2+2x+2．
（1）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）在如图 3 的直角坐标系内画出 y=﹣x2+2x+2 的图象．
24．有这样一个问题：探究函数 y= （x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x 的性质．
（1）先从简单情况开始探究：
①当函数 y= （x﹣1）+x 时，y 随 x 增大而 （填“增大”或“减小”）；
②当函数 y= （x﹣1）（x﹣2）+x 时，它的图象与直线 y=x 的交点坐标为 ；
（2）当函数 y= （x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x 时，
下表为其 y 与 x 的几组对应值．
x … ﹣ 0 1 2 3 4 …
y … ﹣ ﹣3 1 2 3 7 …
①如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，
画出该函数的图象；
②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ．7
8
参考答案与试题解析
一．选择题（共 15 小题）
1．
解：根据题意，ab＞0，即 a、b 同号，
当 a＞0 时，b＞0，y=ax2 与开口向上，过原点，y=ax+b 过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当 a＜0 时，b＜0，y=ax2 与开口向下，过原点，y=ax+b 过二、三、四象限；
此时，D 选项符合，
故选：D．
2．
解：二次函数 y=a（x﹣h）2+k（a＜0）的顶点坐标为（h，k），它的开口方向向下，
故选：B．
3．
解：在 A 中，由一次函数图象可知 a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项 A
错误；
在 B 中，由一次函数图象可知 a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，故选项 B 错
误；
在 C 中，由一次函数图象可知 a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项 C 错
误；
在 D 中，由一次函数图象可知 a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项 D 正
确；
故选：D．
4．
解：∵一次函数 y=ax+b 的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴函数 y=ax2+bx 的图象只可能是 D，9
故选：D．
5．
解：A、由抛物线可知，a＜0，x=﹣ ＜0，得 b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项
正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x=﹣ ＞0，得 b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．
故选：A．
6．
解：在 y=（x+1）2﹣2 中由 a=1＞0 知抛物线的开口向上，故 A 错误；
其对称轴为直线 x=﹣1，在 y 轴的左侧，故 B 错误；
由 y=（x+1）2﹣2=x2+2x﹣1 知抛物线与 y 轴的交点为（0，﹣1），在 y 轴的负半轴，故 D
错误；
故选：C．
7．
解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴 x=﹣ ＜0，
∴b＜0，
∵函数图象经过原点，
∴c=0，
∴一次函数 y=bx+c 在坐标系中的大致图象是经过原点且从左往右下降的直线，
故选：D．
8．
解：∵a＞0，b＜0，c＜0，10
∴﹣ ＞0，
∴抛物线的图象开口向上，对称轴在 y 轴的右边，交 y 轴于负半轴，
故选：C．
9．
解：∵一次函数 y=ax+c 的图象经过一三四象限，
∴a＞0，c＜0，
故二次函数 y=ax2+x+c 的图象开口向上，对称轴在 y 轴左边，交 y 轴于负半轴，
故选：C．
10．
解：∵抛物线 y=3（x﹣1）2+1 是顶点式，
∴顶点坐标是（1，1）．故选 A．
11．
解：A、∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，选项 A 不正确；
B、∵﹣ = ，
∴抛物线的对称轴为直线 x= ，选项 B 不正确；
C、当 x=0 时，y=x2﹣x=0，
∴抛物线经过原点，选项 C 正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线 x= ，
∴当 x＞ 时，y 随 x 值的增大而增大，选项 D 不正确．
故选：C．
12．
解：抛物线 y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标为（2，5），
故选：C．11
13．
解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1）．
故选：A．
14．
解：∵﹣1＜0，
∴函数的开口向下，图象有最高点，
∵这个函数的顶点是（﹣1，2），
∴对称轴是 x=﹣1，
故选：D．
15．
解：∵抛物线的解析式为 y=﹣（x﹣4）2﹣5，
∴抛物线的顶点坐标为（4，﹣5），开口向下．
故选：B．
二．填空题（共 5 小题）
16．
解：当 x=﹣1 时，y=a﹣b+c＜0，
当 x=1 时，y=a+b+c=2，
∴a+c=2﹣b．
∴2﹣b﹣b＜0，
∴b＞1，
故答案为：b＞1．
17．
解：因为直线 x=1 与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），
（1，c），12
所以，a＞b＞d＞c．
18．
解：如图所示：图中阴影部分的面积为半圆面积，
∵⊙O 的半径为 2，
∴图中阴影部分的面积为： π×22=2π．
故答案为：2π．
19．
解：∵y=2（x+2）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣2，4），
故答案为：（﹣2，4）．
20．
解：∵二次函数 y=x2，开口向上，对称轴为 y 轴，
∴当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大．
故答案为：增大．
三．解答题（共 4 小题）
21．
解：（1）把 x=﹣2 代入 y=x2﹣2|x|得 y=0，
即 m=0，
故答案为：0；
（2）如图所示；
（3）由函数图象知：①函数 y=x2﹣2|x|的图象关于 y 轴对称；②当 x＞1 时，y 随 x 的增大
而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与 x 轴有 3 个交点，所以对应的方程 x2﹣2|x|=0 有 3 个实
数根；
②如图，∵y=x2﹣2|x|的图象与直线 y=2 有两个交点，13
∴x2﹣2|x|=2 有 2 个实数根；
③由函数图象知：∵关于 x 的方程 x2﹣2|x|=a 有 4 个实数根，
∴a 的取值范围是﹣1＜a＜0，
故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．
22．
解：（1）画图如图所示，
（3）根据图象知，当 x＜1 或 x＞3 时，y＞0．
23．
解：
（1）∵y=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线 x=1，顶点坐标是（1，3）；
（2）列表如下：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 …14
图象如图所示：
24．
解：（1）①∵y= （x﹣1）+x= x﹣ ，
k= ＞0，
∴y 随 x 增大而增大，
故答案为：增大；
②解方程组 得： ， ，
所以两函数的交点坐标为（1，1），（2，2），
故答案为：（1，1），（2，2）；
（2）①15
②该函数的性质：
①y 随 x 的增大而增大；
②函数的图象经过第一、三、四象限；
③函数的图象与 x 轴 y 轴各有一个交点等，
故答案为：y 随 x 的增大而增大．
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