23.1 图形的旋转
学校：___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共15小题）
1．下列现象：①时针的转动；②摩天轮的转动；③地下水位逐年下降；④传送带上的机器人．其中，属于旋转的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
2．如图，小明坐在秋千上，秋千旋转了76°，小明的位置也从A点运动到了A′点，则∠OAA′的度数为（ ）
A．28° B．52° C．74° D．76°
3．下列关于图形旋转的说法不正确的是（ ）
A．对应点到旋转中心的距离相等
B．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
C．旋转前后的图形全等
D．旋转后，图形的大小，形状与位置都发生了变化
4．如图所示，下图可以看作是一个菱形通过几次旋转得到的，每次可能旋转（ ）
A．30° B．60° C．90° D．150°
5．如图△ABC绕点B顺时针旋转，旋转角是∠ABC，那么下列说法错误的是（ ）
A．BC平分∠ABE B．AB=BD C．AC∥BE D．AC=DE
6．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△
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PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则∠APB的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．105°
7．一个正方形绕着它的中心旋转一定角度后，就能与它自身重合，这个角度至少为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．180°
8．下列图形中既是轴对称图形，又是旋转对称图形的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
9．图中的五角星绕旋转中心旋转后能与自身重合，则最小的旋转角度是（ ）
A．72° B．108° C．144° D．216°
10．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么B（﹣3，2）的对应点B′的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
11．在直角坐标系中，将点A（0，2）绕原点O逆时针方向旋转60°后的对应点B的坐标是（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
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12．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0）．将点P0绕着原点O按顺时针方向旋转45°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1；再将点P2绕着原点O按顺时针方向旋转45°得点P3，延长OP3到点P4，使OP4=2OP3，…，如此进行下去，则线段OP2014的长为（ ）
A．22014 B．22013 C．21007 D．21006
13．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P（1.2，1.4）平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（ ）
A．（2.8，3.6） B．（﹣2.8，﹣3.6） C．（3.8，2.6） D．（﹣3.8，﹣2.6）
14．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（﹣1，0），AC=2．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（ ）
A．（2，2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）
15．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（ ）
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A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5）
二．填空题（共5小题）
16．将点（0，1）绕原点顺时针旋转90°，所得的点的坐标为 ．
17．如图，将△ABC绕顶点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，∠CAB=35°，若旋转角为80°，则∠B′AC的度数为 ．
18．在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣1）绕原点O旋转180°后，得到的对应点B的坐标为 ．
19．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为 ．
20．如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=FF，则AB的长为 ．
15
三．解答题（共3小题）
21．如图，四边形ABCD是正方形，E是AD上任意一点，延长BA到F，使得AF=AE，连接DF：
（1）旋转△ADF可得到哪个三角形？
（2）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？
（3）BE与DF的数量关系、位置关系如何？为什么？
22．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当∠MAN绕点A旋转到（图3）的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？证明你的猜想．
（3）若正方形的边长为4，当点N运动到DC边的中点处时，求BM的长．
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23．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．
（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON=30°，如图③，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒30°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，直线MN恰好与直线CD垂直．（直接写出结果）
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．
解：①时针的转动；②摩天轮的转动是旋转，
故选：A．
2．
解：根据题意知OA=OA′，
15
∵∠AOA′=76°，
∴∠OAA′==52°，
故选：B．
3．
解：A、对应点到旋转中心的距离相等，故A正确，与要求不符；
B、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故B正确，与要求不符；
C、旋转前后的图形全等，故C正确，与要求不符；
D、旋转后，图形的大小，形状不会发生变化，故D错误，与要求相符．
故选：D．
4．
解：根据分析，
图形是由菱形形顺时针或（逆时针）旋转6次得来的，
360÷6=60°
故选：B．
5．
解：∵△ABC绕点B顺时针旋转，旋转角是∠ABC，
∴BA的对应边为BD，BC的对应边为BE，
∴BD=BA，BE=BC，∠DBE=∠ABC，
所以A，B，D选项正确，C选项不正确．
故选：C．
6．
解：连接PP′，由题意可知AP′=AP=6，
∵旋转角的度数为60°，
∴∠PAP′=60°．
∴△APP′为等边三角形，
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∴PP′=AP=AP′=6；
∵BP′=PC=10，BP=8，PP′=6，
∴PP′2+BP2=BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′=90°
∴∠APB=∠BPP′+∠APP′=90°+60°=150°．
故选：C．
7．
解：∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形，
∴顶点处的周角被分成四个相等的角，360°÷4=90°，
∴这个正方形绕着它的中心旋转90°的整数倍后，就能与它自身重合，
因此，这个角度至少是90度．
故选：C．
8．
解：①不是轴对称图形，是旋转对称图形，故此选项错误；
②是轴对称图形，是旋转对称图形，故此选项正确；
③是轴对称图形，是旋转对称图形，故此选项正确；
④是轴对称图形，是旋转对称图形，故此选项正确．
故选：C．
9．
解：该图形被平分成五部分，最小旋转角为=72°．
故选：A．
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10．
解：如图，过B作BC⊥x轴于C，过B'作B'D⊥x轴于D，则∠OCB=∠B'DO=90°，
由旋转可得，BO=OB'，∠BOB'=90°，
∴∠BOC+∠B'OD=90°=∠BOC+∠OBC，
∴∠OBC=∠B'OD，
∴△BOC≌△OB'D，
∴BC=OD，CO=DB'，
又∵B（﹣3，2），
∴BC=OD=2，CO=DB'=3，
∴B'（2，3），
故选：A．
11．
解：将点A（0，2）绕原点O逆时针方向旋转60°后的对应点B的坐标是（﹣，1），
故选：B．
12．
解：OP0=1，OP1=1，OP2=2OP1=2，
OP3=OP2=2，OP4=2OP3=22，
OP5=OP4=22，OP6=2OP5=23，
…，
所以OP2014=21007．
故选：AC．
13．
解：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1，
15
∵P（1.2，1.4），
∴P1（﹣2.8，﹣3.6），
∵P1与P2关于原点对称，
∴P2（2.8，3.6），
故选：A．
14．
解：∵点C的坐标为（﹣1，0），AC=2，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
如图所示，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，
则点A′的坐标为（﹣1，2），
再向右平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（2，2），
故选：A．
15．
解：∵点A，C的坐标分别为（﹣5，2），（5，﹣2），
∴点O是AC的中点，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD经过点O，
∵B的坐标为（﹣2，﹣2），
∴D的坐标为（2，2），
故选：A．
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二．填空题（共5小题）
16．
解：将点（0，1）绕原点顺时针旋转90°，
所得的点在x轴的正半轴上，到原点的距离为1，
因而该点的坐标为（1，0）．
故答案为（1，0）．
17．
解：∵ABC绕顶点A按逆时针方向旋转80°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=80°，
∴∠B′AC=∠B′AB﹣∠CAB=80°﹣35°=45°．
故答案为45°．
18．
解：∵将点A（2，﹣1）绕原点O旋转180°后，得到的对应点B，
∴点B和点A关于原点对称，
∵点A的坐标为（2，﹣1），
∴B的坐标为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
19．
解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，
∴OB=OD，
∴旋转的角度是∠BOD的大小，
∵∠BOD=90°，
∴旋转的角度为90°．
故答案为：90°．
20．
解：由旋转得：AD=EF，AB=AE，∠D=90°，
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∵DE=EF，
∴AD=DE，即△ADE为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：AE==3，
则AB=AE=3，
故答案为：3
三．解答题（共3小题）
21．
解：（1）旋转△ADF可得△ABE，
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠DAF=90°，
在△ADF和△ABE中，
，
∴△ADF≌△ABE，
∴旋转△ADF可得△ABE；
（2）由旋转的定义可知：旋转中心为A，因为AD=AB，所以AD和AB之间的夹角为旋转角即90°；
（3）BE=DF且BE⊥DF．理由如下：
延长BE交F于H点，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵△ABE按逆时针方向旋转90°△ADF，
∴BE=DF，∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠DHB=∠BAE=90°，
∴BE⊥DF．
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22．
解：（1）BM+DN=MN成立．
理由：如图2，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，
得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．
∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，
又∵∠NAM=45°，
在△AEM与△ANM中，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN；
（2）DN﹣BM=MN．
理由：如图3，在线段DN上截取DQ=BM，
在△AMN和△AQN中，
∴△AMN≌△AQN（SAS），
∴MN=QN，
∴DN﹣BM=MN．
（3）如图1，
∵正方形的边长为4，DN=2，
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∴CN=2．
根据（1）可知，BM+DN=MN，
设 MN=x，则 BM=x﹣2，
∴CM=4﹣（x﹣2）=6﹣x．
在Rt△CMN中，
∵MN2=CM2+CN2，
∴x2=（6﹣x）2+22．
解得 x=．
∴MB=﹣2=．
23．
解：（1）在△CEN中，∠CEN=180°﹣30°﹣45°=105°；
（2）∵∠BON=∠N=30°，
∴MN∥BC，
∴∠CEN=180°﹣∠DCO=180°﹣45°=135°；
（3）如图，MN⊥CD时，旋转角为90°+（180°﹣60°﹣45°）=165°，
或360°﹣（60°﹣45°）=345°，
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所以，t=165°÷30°=5.5秒，
或t=345°÷30°=11.5秒．
故答案为：5.5或11.5．
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