北京市丰台区2016届高三二模文科数学试卷
高中数学
第I卷（选择题）
本试卷第一部分共有8道试题。
一、单选题（共8小题）
A． B． C． D．
1. 复数=（ ）
【考点】复数乘除和乘方
【试题解析】
故答案为：D
【答案】D
2. 过点（2,0）且圆心为（1,0）的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】圆的标准方程与一般方程
【试题解析】由题知：
所以圆的方程是：即。
故答案为：B
【答案】B
3. 在不等式组表示的平面区域内任取一个点，使得的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型
【试题解析】作图：
所以
故答案为：C
【答案】C
4. 已知点在抛物线上，它到抛物线焦点的距离为5，那么点的坐标为（ ）
A．(4, 4)，（4，-4）
B．（-4,4），（-4,-4）
C．（5，），（5，）
D．（-5，），（-5，）
【考点】抛物线
【试题解析】抛物线中，准线方程为：x=-1．
因为P它到抛物线焦点的距离为5，所以P到准线的距离为5，所以
所以
故答案为：A
【答案】A
5. 已知函数的定义域为，则“是奇函数”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件与必要条件
【试题解析】若是奇函数，则有所以成立；
反过来，不成立，对任意的x才是奇函数，
只有一个，不能说明是奇函数。
故答案为：A
【答案】A
6. 将函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则函数为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】三角函数图像变换
【试题解析】将函数的图象向左平移个单位得到：
故答案为：D
【答案】D
7. 已知，那么（ ）
A． B．
C． D．
【考点】对数与对数函数
【试题解析】因为所以。
故答案为：C
【答案】C
8. 下表为某设备维修的工序明细表，其中“紧后工序”是指一个工序完成之后必须进行的下一个工序
将这个设备维修的工序明细表绘制成工序网络图，如图，那么图中的1,2,3,4表示的工序代号依次为（ ）
A．E，F，G，G B．E，G，F，G
C．G，E，F，F D．G，F，E，F
【考点】函数模型及其应用
【试题解析】由设备维修的工序明细表知：D后可以是E,G;因为G 后是H,所以4是G, 1是E。
因为E后是F，所以2是F，3是G。
故图中的1,2,3,4表示的工序代号依次为：E，F，G，G
故答案为：A
【答案】A
第II卷（非选择题）
二、填空题（共6小题）
9.已知向量，则_______．
【考点】平面向量坐标运算
【试题解析】所以
故答案为：5
【答案】5
10.已知双曲线（）的一条渐近线方程为，则= ．
【考点】双曲线
【试题解析】因为双曲线（）的渐近线方程为：
所以
故答案为：
【答案】
11.某产品广告费用x与销售额y（单位：万元）的统计数据如下表，根据下表得到回归方程=10．6x+a，则a=_________．
【考点】变量相关
【试题解析】因为回归直线过样本中心点（）=（3．5,43），
所以
故答案为：5．9
【答案】5．9
12.当n＝3，x＝2时，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为
____________．
【考点】算法和程序框图
【试题解析】是；
K=3,s=19,是；k=4,s=42,否。
则输出的结果为42．
故答案为：42
【答案】42
13.一个三棱柱被一个平面截去一部分，剩下的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________________．
【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】该几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥得到的。
所以
故答案为：20
【答案】20
14.某旅行达人准备一次旅行，考虑携带A，B，C三类用品，这三类用品每件重量依次为1kg，2kg，3kg，每件用品对于旅行的重要性赋值依次为2,2,4，设每类用品的可能携带的数量依次为，且携带这三类用品的总重量不得超过11kg．当携带这三类用品的重要性指数最大时，则，，的值分别为_________________．
【考点】函数模型及其应用
【试题解析】根据题意有：，
当，，的值分别为：1,2,2时，
当，，的值分别为：3,1,2时，
当，，的值分别为：2,3,1时，
当，，的值分别为：4,2,1时，
当，，的值分别为：6,1,1时，
综上可得：当，，的值分别为：6,1,1时，三类用品的重要性指数最大。
故答案为：6,1,1
【答案】6,1,1
三、解答题（共6小题）
15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）若，,求的值．
【考点】余弦定理正弦定理
【试题解析】（I）由正弦定理得，
化简得（因为，
因为，所以．
（Ⅱ）由余弦定理得，
化简得,
解得，或
所求的值为．
【答案】见解析
16.某校举办的数学与物理竞赛活动中，某班有36名同学，参加的情况如下表：（单位：人）
（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一科竞赛的概率；
（Ⅱ）在既参加数学竞赛又参加物理竞赛的9名同学中，有5名男同学 和4名女同学甲、乙、丙、丁．现从这5名男同学和4名女同学中各随机选1人，求被选中且甲未被选中的概率．
【考点】古典概型
【试题解析】（Ⅰ）设“一名同学至少参加上述一科竞赛”为事件A，
由表可知，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的同学有9人；
只参加数学竞赛的同学有4人，只参加物理竞赛的同学有3人，
因此至少参加一科竞赛的同学有16人．
则．
（Ⅱ）设“被选中且甲未被选中”为事件B，
从5名男同学 和4名女同学甲、乙、丙、丁中各随机选人，
所有的选取情况有：
（a,甲），（a，乙），（a，丙），（a，丁），
（b,甲），（b，乙），（b，丙），（b，丁），
（c,甲），（c，乙），（c，丙），（c，丁），
（d,甲），（d，乙），（d，丙），（d，丁），
（e,甲），（e，乙），（e，丙），（e，丁）．
共计20种．
其中被选中且甲未被选中的情况有：
（a，乙），（a，丙），（a，丁），共计3种．
则．
【答案】见解析
17.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1=A1C=AC=2，BC=1，且AC⊥BC，点D，E，F分别为AC，AB，A1C1的中点．
（Ⅰ）求证：A1D⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证：EF∥平面BB1C1C；
（Ⅲ）写出四棱锥A1-BB1C1C的体积．
（只写出结论，不需要说明理由）
【考点】空间几何体的表面积与体积垂直平行
【试题解析】（Ⅰ）因为在△AA1C中，AA1=A1C，D为AC中点，
所以A1D⊥AC；
因为侧面AA1C1C底面ABC，
侧面AA1C1C∩底面ABC= AC，
所以A1D⊥平面ABC；
（Ⅱ）设B1C1的中点为G，连结FG，GB，
在四边形FGBE中FG∥A1B1，且FG=A1B1，又因为EB∥A1B1，且EB=A1B1，
所以FG与EB平行且相等，所以四边形FGBE为平行四边形；
所以EF∥BG，
又因为BG在平面BB1C1C内，EF不在平面BB1C1C内，
所以EF∥平面BB1C1C．（Ⅲ）四棱锥A1-BB1C1C的体积为
【答案】见解析
18.已知是各项为正数的等比数列，,数列的前n项和为，．
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）求证:对任意的，数列 为递减数列．
【考点】等比数列等差数列
【试题解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为，则，
解得或舍，
．所以．
（Ⅱ）因为 ，
所以是以为首项，以2为公差的等差数列．
所以， ．
因为
因为，所以，
所以数列 为递减数列．
【答案】见解析
19.设函数．（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数在区间上存在唯一零点，求的取值范围．
【考点】导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性
【试题解析】（Ⅰ），
（1）若，则在区间上，单调递增．所以当时，
的单调递增区间为，没有极值点．
（2）若，令，即，解得，
因为函数在区间是递增函数，
所以在区间内，单调递减；
在区间内,单调递增．
所以当时， 的单调递减区间为，
的单调递增区间为
当时，函数有极小值为．
（Ⅱ）（1）当时，由（Ⅰ）可知， 在上单调递增，
因为，
令，得．
所以当时，在区间上上存在唯一零点．
（2）当时，由（Ⅰ）可知，为函数的最小值点
因为，若函数在区间上上存在唯一零点，则只能是：
①，或②．
由①得；由②得．
综上所述，函数在区间上上存在唯一零点，
则或．
【答案】见解析
20.已知椭圆:过点（0，），椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）如图，设直线与椭圆交于两点，过点作PC⊥轴，
垂足为点C，直线AC交椭圆于另一点B．
①用直线的斜率表示直线AC的斜率；
②写出∠APB的大小，并证明你的结论．
【考点】圆锥曲线综合椭圆
【试题解析】（Ⅰ），
椭圆W的方程．
（Ⅱ）设，则,．
直线的斜率．
（Ⅲ）
由（Ⅱ）可得直线的方程：，设点
联立，消去得
则 ，解得，
所以，点．
因为 ，
所以，所以
【答案】见解析
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