2016年九年级第二次练兵考试
数学试题
满分120分，时间120分钟，
注意：请把答案全部写在答题纸上，在答卷过程中尽力做到书写正确、工整、步骤规范。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1.|-2 016|等于( )
A．-2016 B．2016 C．±2016 D．-
2.下面的计算正确的是( )
A.6a－5a＝1 B.a＋2a2＝3a3
C.－(a－b)＝-a＋b D.2(a＋b)＝2a＋b
3.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
4. 我市通过扩消费、促投资、稳外需的协同发力，激发了区域发展活力，实现了经济平稳较快发展．2015年全市生产总值（GDP）达5613亿元．该数据用科学记数法表示为（ ）
A．5.613×1011元 B．5.613×1012元
C．56.13×1010元 D. 0.5613×1012元
5. 用配方法解一元二次方程x2 + 4x–5 = 0，此方程可变形为（ ）
A. （x - 2）2 =1 B. （x - 2）2 = 9
C. （x + 2）2 = 1 D. （x + 2）2 = 9
6. 如图是由5个底面直径与高度相等的大小相同的圆柱搭成的几何体，其左视图是( )
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A．B．C． D．
7. 如图，已知△OAB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，
则旋转的角度是（ ）
A．150° B．120° C．90° D．60°
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（ ）
A. B. C. D.
9如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB为（ ）
A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定
10. 如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠）， 那么这个圆锥的高为（ ）
A．6cm B．8cm C．cm D．cm
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11．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
（第11题图）
12. 设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13.计算：32-20150+tan45°=_____________.
14.已知x1、x2为方程x2﹣4x+3=0的两根，则x1+x2-2x1x2=_____．
15. 如图，小岛A在港口P的南偏东45°方向、距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/h的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏西60°方向，以18海里/h的速度驶离港口．现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为 h．（结果保留根号）
15题图
16. 如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB = 4，∠BED = 120°，则图中阴影部分的面积之和为_____________.
12
16题图
17. 两个反比例函数（k>1）和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上， PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，BE⊥x轴于点E,当点P在的图象上运动时，以下结论：
①；②PA与PB始终相等；
③四边形PAOB的面积不会发生变化；
④△OBA的面积等于四边形ACEB的面积．
其中一定正确的是_____（填写序号）．
三、解答题（本大题共7小题，共64分）
18.（本题满分6分）先化简，再求值：
,其中
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19.（本题满分8分）端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习惯．某校数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱粽子的情况，随机抽取了50名同学进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅尚不完整的统计图（注：每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选择）
请根据统计图完成下列问题：
（1）扇形统计图中，“很喜欢”所对应的圆心角为_______ 144度；条形统计图中，喜欢“糖馅”粽子的人数为_______3人；
（2）若该校学生人数为800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”粽子的人数之和；
（3）小军最爱吃肉馅粽子，小丽最爱吃糖馅粽子．某天小霞带了重量、外包装完全一样的肉馅、糖馅、枣馅、海鲜馅四种粽子各一只，让小军、小丽每人各选一只．请用树状图或列表法求小军、小丽两人中有且只有一人选中自己最爱吃的粽子的概率．
20.（本题满分8分）已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥
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CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．
求证：四边形ABCD为菱形．
21.（本题满分10分）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长。
22.（本题满分10分）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下
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图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单元：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义．
（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式．
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
23.（本题满分10分）
【发现】如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）
【思考】
如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），根据小明的思路，点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？
请证明点D也不在⊙O内．
【应用】
利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：
若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E在边AB上，CE⊥DE．
（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延长线于点F（如图④），
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求证：DF为Rt△ACD的外接圆的切线；
（2）如图⑤，点G在BC的延长线上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=，
AD=1，求DG的长．
24.（本题满分12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线y＝ 相交
于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（-2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC与△ABE的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
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二练数学答案
一、 选择题
1.B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.D 7.A 8.D 9.B 10.C 11.B 12.C
二、填空题
13. 9 14. -2 15. ．16. 17.①③④
三、解答题
18.原式化简= 原式=
19.（1）144；3人；（2）600人 （3）
20证明：∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠BEC，∴∠AEB=∠CFD，
在△AEB和△CFD中，∠DCF=∠EAB,AE=CF, ∠FCD=∠EAB
∴△AEB≌△CFD（ASA），∴AB=CD，∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF，∵∠BAE=∠DCF，∴∠DAF=∠DCF，
∴AD=CD，∴四边形ABCD是菱形．
21（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，
∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，
∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，
即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；
（2）如图2，∵⊙O的半径为3，
∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，
∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，
∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，
∴CD= ∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，
CD=，AC=6，
∴AD=
22. 解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1，
∵y=k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42），
∴
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∴解得：k1＝−0.2 b1＝60
∴这个一次函数的表达式为；y=-0.2x+60（0≤x≤90）；
（3）设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2，
∵经过点（0，120）与（130，42），
∴
解得：k2＝−0.6 b2＝120
∴这个一次函数的表达式为y2=-0.6x+120（0≤x≤130），
设产量为x kg时，获得的利润为W元，
当0≤x≤90时，
W=x[（-0.6x+120）-（-0.2x+60）]=-0.4（x-75）2+2250，
∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；
当90≤x≤130时，W=x[（-0.6x+120）-42]=-0.6（x-65）2+2535，
由-0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，
∴90≤x≤130时，W≤2160，
∴当x=90时，W=-0.6（90-65）2+2535=2160，
因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．
23.思考】如图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，
∵∠ADB是△BDE的外角，
∴∠ADB＞∠AEB，
∴∠ADB＞∠ACB，
因此，∠ADB＞∠ACB这与条件∠ACB=∠ADB矛盾，
所以点D也不在⊙O内，
所以点D即不在⊙O内，也不在⊙O外，点D在⊙O上；
【应用】
（1）如图2，取CD的中点O，则点O是RT△ACD的外心，
∵∠CAD=∠DEC=90°，
∴点E在⊙O上，
∴∠ACD=∠AED，
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∵∠FDA=∠AED，
∴∠ACD=∠FDA，
∵∠DAC=90°，
∴∠ACD+∠ADC=90°，
∴∠FDA+∠ADC=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF为Rt△ACD的外接圆的切线；
（2）∵∠BGE=∠BAC，
∴点G在过C、A、E三点的圆上，如图3，
又∵过C、A、E三点的圆是RT△ACD的外接圆，即⊙O，
∴点G在⊙O上，
∵CD是直径，
∴∠DGC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=90°
∵∠DAC=90°
∴四边形ACGD是矩形，
∴DG=AC，
∵sin∠AED=，∠ACD=∠AED，
∴sin∠ACD=
在RT△ACD中，AD=1，∴CD= ∴AC= ∴DG=
解：（1）∵点A（-2，2）在双曲线y=上，
∴k=-4，
∴双曲线的解析式为y=-，
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，
∴设B点坐标为（m，-4m）（m＞0）代入双曲线解析式得m=1，
∴抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过点A（-2，2）、B（1，-4）、O（0，0），
∴
解得：，
故抛物线的解析式为y=-x2-3x；
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（2）∵抛物线的解析式为y=-x2-3x，
∴顶点E（-，），对称轴为x=-，
∵B（1，-4），
∴-x2-3x=-4，
解得：x1=1，x2=-4，
∵C横坐标＜0，
∴C（-4，-4），
∴S△ABC=15，
由A、B两点坐标为（-2，2），（1，-4）可求得直线AB的解析式为：y=-2x-2，
设抛物线的对称轴与AB交于点F，连接BE，则F点的坐标为（-，1），
∴EF=-1=，
∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=
（3）S△ABE=，
∴8S△ABE=15，
∴当点D与点C重合时，显然满足条件；
当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，其对应的一次函数解析式为y=-2x-12，
令-2x-12=-x2-3x，
∴x2+x-12=0，
∴（x-3）（x+4）=0，
解得x1=3，x2=-4（舍去），
当x=3时，y=-18，
故存在另一点D（3，-18）满足条件．
综上可得点D的坐标为（3，-18）或（-4，-4）．
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