苏州大学2016届高考考前指导卷（1）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．已知集合，，且，则实数a的值为 ▲ ．
2．i是虚数单位，复数z满足，则＝ ▲ ．
3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．
4．某学校高三有A，B两个自习教室，甲、乙、丙三名同学随机选择其中一个教室自习，则他们在同一自习教室上自习的概率为 ▲ ．
5．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是 ▲ ．
6．已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，且它的一个焦点在直线l上，则双曲线C的方程为 ▲ ．
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2S3－3S2＝12，则数列{an}的公差是 ▲ ．
8．已知一个圆锥的底面积为2，侧面积为4，则该圆锥的体积为 ▲ ．
9．已知直线是函数的图象在点处的切线，则 ▲ ．
10．若cos(－θ)＝，则cos(＋θ)－sin2(θ－)＝ ▲ ．
11．在等腰直角△ABC中，，，M，N 为 AC边上的两个动点，且满足 ，则的取值范围为 ▲ ．
12．已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，直线l：．若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则AB的长度取最小值时直线AB的方程为 ▲ ．
13．已知函数，若方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 ▲ ．
14．已知不等式对任意恒成立，其中是整数，则的取值的集合为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知函数的最小值是－2，其图象经过点．
（1）求的解析式；
（2）已知，且，，求的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面是直角三角形，,点是的中点，且平面平面．证明：
（1）平面；
（2）平面平面．
17．（本小题满分14分）
如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．
已知，，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km， km．现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．
（1）求水上旅游线AB的长；
（2）若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成t h时的半径为（a为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以 km/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．
18．（本小题满分16分）
椭圆M：的焦距为，点关于直线的对称点在椭圆上．
（1）求椭圆M的方程；
（2）如图，椭圆M的上、下顶点分别为A，B，过点P的直线与椭圆M相交于两个不同的点C，D．
①求的取值范围；
②当与相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
19．（本小题满分16分）
已知是等差数列，是等比数列，其中．
（1）若，，，试分别求数列和的通项公式；
（2）设，当数列的公比时，求集合的元素个数的最大值．
20．（本小题满分16分）
已知函数，其中R，是自然对数的底数.
（1）若曲线在的切线方程为，求实数，的值；
（2）①若时，函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围；
②若，，若对一切正实数恒成立，求实数的最大值(用表示).
苏州大学2016届高考考前指导卷（1）参考答案
1．3． 2．. 3．50. 4．. 5．30. 6．. 7．4. 8．.
9．2. 10．. 11．. 12．. 13．. 14．.
解答与提示
1．由可知且，有. 2．由题意得，那么.
3．三等品总数. 4．.
5．，，输出3；，，输出6；，，输出30；则这列数中的第3个数是30. 6．由双曲线的渐近线方程可知；又由题意，那么，双曲线方程为. 7．方法1：2S3－3S2=，则. 方法2：因为，则，得到. 8．设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，解得，故高，所以．9．由于点在函数图象和直线上，则，. 又由函数的导函数可知，切线的斜率，有，和，则. 10．设t=－θ，有cos t＝. 那么cos(＋θ)－sin2(θ－)＝cos(-t)- sin2 t＝-. 11．方法1：建立直角坐标系，设，，，则利用可设，，其中，那么，则. 方法2：设中点为，则；由图形得到
，那么. 12．当AB的
长度最小时，圆心角最小，设为2，则由可知当最小时，最大，即最小，那么，，可知，设直线AB的方程为. 又由可知，点到直线 AB的距离为，即，解得或；经检验，则直线AB的方程为. 13．画出函数的大致图象如下：则考虑临界情况，可知当函数的图象过，时直线斜率，，并且当时，直线与曲线相切于点，则得到当函数与图象有两个交点时，实数k的取值范围是. 14．首先，当时，由得到在上恒成立，则，且，得到矛盾，故. 当时，由可设，，又的大致图象如下，那么由题意可知：再由是整数得到或因此＝8或12．15． （1）因为的最小值是－2，所以A＝2．又由的图象经过点，可得， ，所以或，又，所以，故，即．（2）由（1）知，又，，故，即，又因为，所以，所以．16．（1）设，是平行四边形，故为中点．连结， 因为点是的中点，所以．平面,平面, 所以平面．（2） 因为平面平面,，故平面．又平面，所以
．而底面是菱形，故,又，所以平面．平面，所以平面平面．
17．（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：，直线的方程为．
由，及得，∴．∴直线的方程为，即， .
x
M
A
O
y
N
.Q
.
C
.P
.
B
由得即，∴，即水上旅游线的长为．（2）设试验产生的强水波圆，由题意可得P（3，9），生成小时时，游轮在线段上的点处，则，∴．强水波不会波及游轮的航行即 ，当时 ，当. ，，当且仅当时等号成立，所以，在时恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．18．（1）因为点关于直线的对称点为，且在椭圆M上，所以．又，故，则．所以椭圆M的方程为．（2）①当直线l的斜率不存在时，，所以＝－1．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，消去y整理得，由，可得，且，所以
，所以，综上．②由题意得，AD：，BC：，联立方程组，消去x得，又，解得，故点Q的纵坐标为定值. 19．（1）设数列的公差为，数列的公差为，则解得∴，或．（2）不妨设，则，即， 令，问题转化为求关于的方程（*）最多有多少个解．① 当时，因为，若为奇数，则方程为，左边关于单调递增，方程（*）最多有1个解；若为偶数，则方程为，令，则，令，得，由于，∴函数单调递增，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴方程（*）在和上最多各有1个解． 综上：当时，方程（*）最多有3个解．② 当时，同理可知方程（*）最多有3个解．事实上，设时，有，所以A的元素个数最大值为3． 20． (1) 由题意知曲线过点(1,0)，且；又因为，则有解得. (2) ①当时，函数的导函数，若时，得，设 . 由，得，. 当时，，函数在区间上为减函数，；当时，，函数在区间上为增函数，；所以，当且仅当时，有两个不同的解，设为，.
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，+∞)
-
0
+
0
-
↘
极大值
↗
极小值
↘
此时，函数既有极大值，又有极小值.
②由题意对一切正实数恒成立，取得.下证对一切正实数恒成立.首先，证明. 设函数，则，当时，；当时，；得，即，当且仅当都在处取到等号. 再证. 设，则，当时，；当时，；得，即，当且仅当都在处取到等号. 由上可得，所以，即实数的最大值为.
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