哈尔滨市第九中学 2015---2016 年学年度下学期高三学年第四次模拟考试数学学科试卷（文科）
（考试时间：120 分钟满分：150 分共 2 页）
第I卷(选择题共 60 分)
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1.复数（ i 是虚数单位）的虚部是
A. 1 B. i C. D.2 i
2.设集合A = {x| lg(10 - x2) > 0}，集合B ={x| 2x< }，则A Ç B =
A. (- 3,1) B. (- 1,3) C. (- 3,-1) D. (1,3)
3.已知, ,, 则
A. B. C. D.
4.命题“若 x2¹ 4 ，则 x ¹ 2 且 x ¹ -2”的否命题为
A.若 x2= 4 ，则 x ¹ 2 且 x ¹ -2 B.若 x2¹ 4 ，则 x = 2 且 x = -2
C.若 x2¹ 4 ，则 x = 2 或 x = -2 D.若 x2= 4 ，则 x = 2 或 x = -2
5.抛物线 y = 4a x2(a ¹ 0) 的焦点坐标是
A. (0,a) B. (a,0) C.(0, ) D.( , 0)
6.执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为( )
A．7 B．9
C．3 D．11
7.已知甲,乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同, 平均数也相同,则图中的 m, n比值=
A. B. C. 1 D.
8.设a, b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是
A. 存在唯一平面a ，使得 a Ì a ，且 b //a B. 存在唯一直线 l ，使得 l // a ，且 l ^ b
C. 存在唯一直线 l ，使得 l ^ a ，且 l ^ b D. 存在唯一平面a ，使得 a Ì a ，且 b ^ a
9.已知实数 x, y 满足,若目标函数 z = 2 x + y 的最大值与最小值的差为2,则实数 m的值为
A. 4 B.2 C.3 D. -
10.一个空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球的表面积为
A. 24p B. 6p
C. 4p D. 2p
11.为得到函数 y = sin的图象，可将函数 y = sin x 的图象向左平移 m 个单位长度，或向右平移 n 个单位长度（ m ， n 均为正数），则| m - n|的最小值为
A. B. C. D.
12.已知函数 f ( x) = ,要使f (x)恒有两个零点，则 a 的取值范围是
A. B.(1, e] C. (1, ) D.
第Ⅱ卷（非 选择 题共 90 分）
二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分)
13.已知向量 是两个不共线的向量，若与共线，则 l =_______________
14.已知 DABC 的顶点 A(-5, 0), B(5, 0), DABC 的内切圆圆心在直线 x = 3 上，则顶点 C 的轨迹方程为______________________________
15.若函数 f ( x) = (a Î R) 满足f (2 + x) =f (2 - x),且f ( x)在[m, +¥) 上单调递增，则实数 m
的最小值为_________________________
16.已知数列 {a n}的通项公式为，其前 n 项和为 Sn，则 S 60 =__________________
三、解答题(共 70 分)
17.(本题满分 12 分)
在 DABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，点 (a, b) 在直线 2x cos B - y cos C = c cos B 上.
求证：
(1) 求 cos B 的值；
(2) 若 a = , b = 2, 求角 A 的大小及向量在方向上的投影.
18.(本题满分 12 分)
某停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过 1 小时收费 6 元，超过 1 小时的部分每小时收费 8 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算），现有甲、乙二人在该停车场临时停车，两人停车都不超过 4 小时。
（1）若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 ，停车付费多于 14 元的概率为 ，求甲临时停车付费恰为 6 元的概率；
（2）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费的和为 36 元的概率。
19. (本题满分 12 分)
如图，四棱锥 P - ABC D 中，底面 ABC D是直角梯形， ÐD AB = 900 , AD // BC ,
AD ^ 侧面PAB ， DPAB 是等边三角形, DA = AB = 2 ， BC = AD, E 是线段 AB 中点。
（1）求证： PE ^ CD ；
（2）求三棱锥 P-CDE 的表面积。
20. (本题满分 12 分)
已 知 平 面 上 的 动 点P( x, y)及 两 定 点A(-2,0), B(2,0), 直 线PA, PB斜 率 分 别 为k1 , k2且k1× k2= -，设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点 T (4,0) 的直线与曲线C交于 M , N 两点，过点M作 M Q ^ x轴 ，交曲线C于点 Q .
求证：直线NQ过定点，并求出定点坐标。
21. (本题满分 12 分)
已知函数 , a, b Î R且a > 0
（1）若 a = 2, b = 1,求函数 f (x) 的极值；
（2）设，（i）当 a = 1 时，对任意 x Î(x0, +¥), 都有g(x) ³ 1 成立，求b的最大值
（ii）设 g ¢( x) 是 g ( x) 的导函数,若存在 x > 1, 使 g(x) + g¢(x) = 0 成立,求的取值范围.
请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请在答题卡上填涂题号对应标记。
22.（本题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲
如图，已知圆 O 是 DABC 的外接圆， AB = BC ， AD 是 BC 边上的高，
AE 是圆 O 的直径．过点 C 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 F .
(1)求证： AC × BC = AD × AE ；
(2)若 AF = 2, CF = ，求 AE 的长．
23.（本题满分 10 分）选修 4－4：极坐标系与参数方程[
在 平 面 直 角 坐 标 系 中 xOy 中 ， 直 线 l 的 参 数 方 程 为（t为参数），若以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 r (1- cos 2q ) = 8cosq .
（1）求曲线 C 的直角坐标方程；
（2）若直线 l 与曲线 C 相切，求直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积.
24．（本题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
已知 a > 0,b > 0, a + b = 1, 求证：
（1）
（2）
九中四模数学答案（文科）
一. 1-12 CCADCD DABBBA
二. 13-16 2 120
17. (1)在直线上,所以,
由正弦定理得,
所以因为所以 …6分
(2),因为由正弦定理得,
在方向上的投影为 ……12分
18.(1)设“甲临时停车付费恰为6元”为事件 A，则P（A）= ……6分
(2) 设“甲、乙两人的停车付费之和为36元” 为事件 B，设甲停车付费a元，乙停车付费b元,其中a,b=6,14,22,30,则甲、乙两人的停车费用构成的基本事件为
，共16个，
其中符合题意。
故甲、乙两人的停车付费之和为36元的概率P（B）= ……12分
19.（1）证明：因为AD⊥侧面PAB，PE平面PAB，所以AD⊥PE． ……2分
又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，所以PE⊥AB． ……3分
因为AD∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD． ……4分
因为AD∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD．
而CD平面ABCD，所以PE⊥CD． ..….6分
(2) ……12分
20．(1)由题知,,且,,则
整理得曲线方程为 …….4分
(2)证明:设与轴交于,则直线的方程为
记,,由对称性知,由消得
所以
由三点共线知,即
所以整理得
所以即所以直线过定点
…………….. 12分
21． Ⅰ)当，时，，定义域为。所以。 .令，得，，列表：
由表知的极大值是，的极小值是。 . ......4分
(Ⅱ)① 因为，当时，。
因为在上恒成立，所以在上恒成立......5分
记，则。
当时，，在上是减函数；
当时，，在上是增函数；
所以；所以的最大值为。 ......8分
②因为，所以。由，得，整理得...9分.
因为，所以。设，则
因为，恒成立，所以在是增函数，所以，
所以，即的取值范围为。 ......12分
22. (1)
连接BE，由题意知△ABE为直角三角形．
因为∠ABE＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠ACB，所以△ABE∽△ADC.
所以＝，即AB·AC＝AD·AE.
又AB＝BC，所以AC·BC＝AD·AE. …………4分
(2)因为FC是圆O的切线，
所以FC2＝FA·FB.
又AF＝2，CF＝2，所以BF＝4，AB＝BF－AF＝2.
因为∠ACF＝∠FBC，又∠CFB＝∠AFC，所以△AFC∽△CFB.
所以＝，得AC＝＝，cos∠ACD＝.
所以sin∠ACD＝＝sin∠AEB.
所以AE＝＝. …………10分
23.（1） 由得
得直角坐标方程为 …………4分
（2）代入得
由得 …………7分
则直线与x轴交点为 与y轴交点，
则 …………10分
24.（1）由
所以
即证 …………5分
（2）
由（1）知
所以 …………10分
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