黑龙江省哈尔滨市第九中学2016届高三第四次高考模拟数学（理）试题 Word版含答案.doc

哈尔滨市第九中学 2015---2016 年学年度下学期 高三学年第四次模拟考试数学学科试卷（理科）‎ ‎（考试时间：120 分钟 满分：150 分 共 2 页 命题人：林琳王巍） -+³ì第 I 卷(选择题共 60 分)‎ 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.复数（ i 是虚数单位）的虚部是 A. 1 B. i C. D.2 i ‎2.设集合A = {x| lg(10 - x2) > 0}，集合B ={x| 2x< }，则A Ç B = A. (- 3,1) B. (- 1,3) C. (- 3,-1) D. (1,3) ‎3. 的展开式中，x的系数为 A.40 B.-40 C.80 D.-80‎ ‎4.命题“若 x2¹ 4 ，则 x ¹ 2 且 x ¹ -2”的否命题为 A.若 x2= 4 ，则 x ¹ 2 且 x ¹ -2 B.若 x2¹ 4 ，则 x = 2 且 x = -2‎ C.若 x2¹ 4 ，则 x = 2 或 x = -2 D.若 x2= 4 ，则 x = 2 或 x = -2‎ ‎5.抛物线 y = 4a x2(a ¹ 0) 的焦点坐标是 A. (0,a) B. (a,0) C.(0, ) D.( , 0)‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为( ) ‎ A．7 B．9‎ C．3 D．11‎ ‎7.已知甲,乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同, 平均数也相同,则图中的 m, n比值= A. B. C. 1 D. ‎ ‎8.设a, b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是 A. 存在唯一平面a ，使得 a Ì a ，且 b //a B. 存在唯一直线 l ，使得 l // a ，且 l ^ b C. 存在唯一直线 l ，使得 l ^ a ，且 l ^ b D. 存在唯一平面a ，使得 a Ì a ，且 b ^ a ‎9.已知实数 x, y 满足,若目标函数 z = 2 x + y 的最大值与最小值的差为2,则实数 m的值为 A. 4 B.2 C.3 D. - ‎10.一个空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球的表面积为 A. 24p B. 6p C. 4p D. 2p ‎11.为得到函数 y = sin的图象，可将函数 y = sin x 的图象向左平移 m 个单位长度，或向右平移 n 个单位长度（ m ， n 均为正数），则| m - n|的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数 f ( x) = ,要使f (x)恒有两个零点，则 a 的取值范围是 A. B.(1, e] C. (1, ) D. ‎ 第Ⅱ卷（非 选择 题共 90 分）‎ 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分)‎ ‎13.已知向量 是两个不共线的向量，若与共线，则 l =_______________‎ ‎14.由曲线y=x2,y=围成的封闭图形的面积为___________________．‎ ‎15.在小语种提前招生考试中，某学校获得 5 个推荐名额，其中俄语 2 个，日语 2 个，西班牙语 1m个，日语和俄语都要求有男生参加．学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 名推荐对象，则不同的推比值=乙甲n荐方法共有__________________．‎ ‎16.已知数列 {a n}的通项公式为，其前 n 项和为 Sn，则 S 60 =__________________ 三、解答题(共 70 分)‎ ‎17.(本题满分 12 分)‎ 在 DABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，点 (a, b) 在直线 2x cos B - y cos C = c cos B 上.‎ 求证：‎ ‎ (1) 求 cos B 的值；‎ ‎(2) 若 a = , b = 2, 求角 A 的大小及向量在方向上的投影.‎ ‎18. (本题满分 12 分)‎ 在某地区举行的一次数学竞赛中，随机抽取了 100 名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：+ ‎ （1）求抽取的样本平均数和样本方差S2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知这次考试共有 2000 名考生参加， 如果近似地认为这次成绩z服从正态分布N （其中近似为样本平均数, 近似为样本方差S2），且规定827 .分是复试线，那么在这 2000 名考生中，能进入复试的有多少人？（附：.若z～N，则， 结果取整数部分）‎ ‎（3）已知样本中成绩在[90,100]中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为，求的分布列与期望E（） ‎ ‎19. (本题满分 12 分)‎ 如图，四棱锥 P - ABC D 中，底面 ABC D是直角梯形， ÐD AB = 900 , AD // BC ,‎ AD ^ 侧面PAB ， DPAB 是等边三角形, DA = AB = 2 ， BC = AD, E 是线段 AB 中点。‎ ‎（1）求证： PE ^ CD ；‎ ‎（2）求三棱锥 P-CDE 的表面积。‎ ‎20. (本题满分 12 分)‎ 已 知 平 面 上 的 动 点P( x, y)及 两 定 点A(-2,0), B(2,0), 直 线PA, PB斜 率 分 别 为k1 , k2且k1× k2= -，设动点P的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）过点 T (4,0) 的直线与曲线C交于 M , N 两点，过点M作 M Q ^ x轴 ，交曲线C于点 Q .‎ 求证：直线NQ过定点，并求出定点坐标。‎ ‎21. (本题满分 12 分) 已知函数 ‎（1）求函数y =f(x)的零点个数；‎ ‎（2）若函数y =g(x)在(0, )内有极值，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）对任意的, 求证：‎ 请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请在答题卡上填涂题号对应标记。‎ ‎22.（本题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲 如图，已知圆 O 是 DABC 的外接圆， AB = BC ， AD 是 BC 边上的高，‎ AE 是圆 O 的直径．过点 C 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 F .‎ ‎(1)求证： AC × BC = AD × AE ；‎ ‎(2)若 AF = 2, CF = ，求 AE 的长．‎ ‎23.（本题满分 10 分）选修 4－4：极坐标系与参数方程[‎ 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 xOy 中 ， 直 线 l 的 参 数 方 程 为（t为参数），若以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 r (1- cos 2q ) = 8cosq .‎ ‎（1）求曲线 C 的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线 l 与曲线 C 相切，求直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积.‎ ‎24．（本题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 已知 a > 0,b > 0, a + b = 1, 求证：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ 九中四模数学答案（理科）‎ 一. ‎1-12 CCADCD DABBBA 二. ‎13-16 24 120‎ ‎17.‎ ‎ (1)在直线上,所以,由正弦定理得,‎ 所以因为所以 …6分 ‎ ‎(2),因为由正弦定理得,‎ ‎.在方向上的投影为 ……12分 ‎18.‎ ‎19.（1）证明：因为AD⊥侧面PAB，PE⊂平面PAB，所以AD⊥PE． 又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，所以PE⊥AB． 因为AD∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD．而CD⊂平面ABCD，所以PE⊥CD． ….4分 ‎  (2)解：以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 则， ， 设为平面PDE的法向量，由，即，可得， 设PC与平面PDE所成的角为θ， ， 所以，PC与平面PDE所成的角的正弦值为。  ………12分 ‎20．‎ ‎……..12分 ‎……..8分 ‎……..4分 ‎(1)由题知,,且,,则 整理得曲线方程为 …….4分 ‎(2)证明:设与轴交于,则直线的方程为 记,,由对称性知,由消得 所以 由三点共线知,即 所以整理得 所以即所以直线过定点 ‎ …………….. 12分        ‎ ‎………. 12分 ‎，‎ g/(x)>0,,,‎ g/(x)0,‎ g/(x)