理科数学（B卷）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知，，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或或0
2.设复数，，则（ ）
A． B． C． D．
3.武汉市2015年各月的平均气温（）数据的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是（ ）
A．25.5 B．22 C．20.5 D．20
4.设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.在平行四边形中，，，将此平行四边形沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6.对于函数，给出下列四个命题：①存在，使；②存在，使恒成立；③存在，使函数的图象关于坐标原点成中心对称；④函数的图象关于直线对称；⑤函数的图象向左平移个单位长度就能得到的图象.其中正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．③④⑤ C．②③⑤ D．③④
7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数后输出的，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8.已知是定义在上的两个函数，且对，恒成立. 命题：若为偶函数，则也为偶函数；命题：若时，在上恒成立，则为上的单调函数.则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
9.已知点是抛物线上的一个动点，是圆上的一个动点，是一个定点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10.若点是锐角所在的平面内的动点，且，给出下列命题：
①恒成立；②的最小值为；③点的轨迹是一条直线；④存在点使.
其中正确的命题为（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④
11.如图所示，网格上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面面积中的最大值为（ ）
A．16 B．8 C． D．6
12.已知，设函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值，则下列结论中正确的是（ ）
A．存在，使得 B．存在，使得
C．的最大值为 D．的最大值为
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若，则 .
14.给定双曲线，若直线过的中心，且与交于两点，为曲线上任意一点，若直线的斜率均存在且分别记为，则 .
15.已知点的坐标满足，则的取值范围为 .
16.在数列中，，是数列的前项和，当不等式恒成立时，的所有可能取值为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点两地相距100米，，在地听到弹射声音的时间比地晚秒，在地测得该仪器至最高点处的仰角为.
（1）求两地的距离；
（2）求这种仪器的垂直弹射高度（已知声音的传播速度为340米/秒）.
18. （本小题满分12分）
如图，平面，分别是的中点，，.
（1）求二面角的余弦值；
（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.
19. （本小题满分12分）
某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体验表，并得到如图的频率分布直方图.
（1）若直方图中后四组的频率成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为，求的分布列和数学期望.
20. （本小题满分12分）
如图，曲线由两个椭圆和椭圆组成，当成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.
（1）若猫眼曲线过点，且的公比为，求猫眼曲线的方程；
（2）对于题（1）中所求的猫眼曲线，任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，试问：是否为与无关的定值，若是请求出定值；若不为定值，请说明理由；
（3）若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点两点，为椭圆上的任意一点（点与点不重合），求面积的最大值(用字母表示).
21. （本小题满分12分）
已知函数，，（为自然对数的底数）.
（1）若曲线与在坐标原点处的切线相同，问：
（ⅰ）求的最小值；
（ⅱ）若时，恒成立，试求实数的取值范围；
（2）若有两个不同的零点，对任意，，证明：（为的导函数）.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，锐角三角形的内心为，过点作直线的垂线，垂足为，点为圆与边的切点.
（1）求证：四点共圆；
（2）若，求的度数.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆（为参数）和直线（其中为参数，为直线的倾斜角）.
（1）当时，求圆上的点到直线的距离的最小值；
（2）当直线与圆有公共点时，求的取值范围.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，.
（1）求的最小值；
（2）若的最小值为2，求的最小值.
华中师大一附中
2016届高三五月适应性考试试题(一)参考答案
理科数学
一. 选择题
（A 卷）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
B
C
A
C
B
A
B
C
B
D
（B 卷）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
C
C
A
D
B
A
B
C
B
D
二. 填空题
13. 14. 15. 16. 1或2或4
三.解答题
（17）【解析】（Ⅰ）设，由条件可知
在中，由余弦定理，可得
故两地的距离为420米．………………6分
（Ⅱ）在中，米，
由正弦定理，可得，即
所以（米），故这种仪器的垂直弹射高度为米．…12分
（18）【解析】以为正交基底建立空间直角坐标系，
则各点的坐标为，，，．
（Ⅰ）因为平面，所以是平面的一个法向量，．因为，．
设平面的法向量为，则，，
即令，解得
所以是平面的一个法向量． 从而
所以二面角的余弦值为…………………………………6分
（Ⅱ）因为，设，
又，则，又，
从而
设, 则
当且仅当，即时，的最大值为.
因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．
又因为，所以…………12分
（19）【解析】（Ⅰ）由直方图可知，第一组有3人，第二组有7人，第三组有27人，
因为后四组的频数成等差数列，所以后四组的频数依次为27,24,21,18，所以视力
在以下的频率为，故全年级视力在以下的人数约为．
…………3分
（Ⅱ），
因此在犯错误的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系．……6分
（Ⅲ）依题意9人中年级名次在名和名分别有3人和6人，
可取0、1、2、3
， ，
，
的分布列为
0
1
2
3
的数学期望. ……12分
（20）【解析】（Ⅰ）由题意知，，，∴
∴:，:………… 2分
（Ⅱ）为定值，理由如下：
设斜率为的直线交椭圆于点，线段中点，
由得，
∵存在且，∴，且，∴
同理，；故有；…………7分
（Ⅲ）设直线的方程为，
联立方程得，化简得
由化简得，
不妨设，
联立方程得，化简得，
由化简得
可取
从而两平行线间距离，又；
∴的面积最大值为
…………12分
（21）【解析】（Ⅰ）（ⅰ）因为，，
依题意，，且，解得，
所以，当时，；当时，．
故的单调递减区间为， 单调递增区间为．
当时，取得最小值0． ………………………………2分
（ⅱ）由（ⅰ）知，，即，从而,即．
设
则，
（1）当时，因为，（当且仅当时等号成立），
此时在上单调递增，从而，即．
（2）当时，由于，所以，
又由（1）知，所以，故，
即．（此步也可以直接证）
（3）当时， 令，则，
显然在上单调递增，又，
所以在上存在唯一零点，
当时，在上单调递减，
从而，即所以在上单调递减，
从而当时，，即，不合题意．
综上， 实数的取值范围为． ………………………………7分
（Ⅱ）依题意，不妨设，有，，两式相减得：
，整理得，
则，于是，
令，则设，
则，
∴ 在上单调递增，则
，于是有，
即， ………………………………12分
注：其他解法酌情给分.
（22）【解析】（Ⅰ）证明：由圆与相切于点得，
结合，得，所以，，，四点共圆. …………4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，，四点共圆，所以，由题意知
结合，得
所以，由，. …………10分
（23）【解析】（Ⅰ）当时，直线的直角坐标方程为，圆的圆心坐标为（1，0），圆心到直线的距离，圆的半径为1，故圆上的点到直线的距离的最小值为． …………4分
（Ⅱ）圆的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，这个关于的一元二次方程有解，
故，则，即或．
又，故只能有，
即． …………10分
（24）【解析】（Ⅰ）
在是减函数，在是增函数
当时，取最小值. …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值为， . …………6分
，，当且仅当
即时，取等号，的最小值为. …………10分
微信/支付宝扫码支付