铜山区2016年高考数学模拟卷
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试
时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置
作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
一、 填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上．
1．已知全集，集合，则 ▲ ．
2．在复平面内，复数 （为虚数单位）对应的点到原点的距离为 ▲ ．
3．阅读如图所示的程序框图，若输入n 是100，则输出的变量S的值是 ▲ ．5049
4． 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10000人中再用分层抽样方法抽出 100人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）月收入段应抽出 ▲ 人．25
5． 已知件产品中有件次品，其余为合格品．现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为 ▲ ．
6． 已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为 ▲ ．．
7．若，满足则的最大值为 ▲ ．2
8．在中，，，，则 ▲ ．1
9. 过双曲线的左焦点作垂直于实轴的弦，为右顶点，若，则该双曲线的离心率为 ▲ ．
10．已知正数，直线，若，则实数 的最小值为 ▲ ．
11．已知圆C：，点是直线l：上的动点，若在圆C上总存在不同的两点A，B使得，则的取值范围是 ▲ ．
12．已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于 ▲ ． 13
13．已知，函数和有交点，
且它们在点处有公共切线，则 ▲ ．
14．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于 ▲ ．9
二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15．(本小题满分14分)
在Δ中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求证：，，成等差数列；
（2）若，，求Δ的面积.
15．（1）证明：∵，∴
由正弦定理得， ……………………2分
化简得，
∴
∴ ……………………4分
∴
∴
∴，，成等差数列. ……………………6分
（2）解：∵，，
由余弦定理得，
即 ……………………8分
∴ ……………………10分
又∵
∴ ……………………12分
∴Δ的面积. ……………………14分
16．（本小题满分14分）
（第16题图）
如图，在直三棱柱中，，．点是上一点，且平面平面
（1）求证：；
（2）求证：平面．
16．证明：（1），，
平面平面，
……………………2分
又在直三棱柱中，，，
，
……………………6分
平面
； ……………………8分
（2）连结 ，设 ，连结 ，
且，，
是等腰直角三角形的斜边 上的高线，且
……………………10分
也是斜边 上的中线，即点 为边的中点，
的中位线 ， ……………………12分
（第16题图）
B
A
C
E
F
G
A1
B1
C1
平面． ……………………14分
17．（本小题满分14分）
如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．
·
A
M
N
P
（第19题图）
α
C
B
17.解：（方法一）
·
(A)
x
N
P
y
O
B
C
（第19题图1）
如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．
因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．
设点P(x0，y0)．
因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．
由P到直线AN的距离为，
得＝，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，
所以点P(1，3)． ……………………………… 4分
显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．
令y＝0得xB＝1－． ……………………………… 6分
由解得yC＝． ……………………………… 8分
设△ABC的面积为S，则S＝×xB×yC＝＝－1＋． …………… 10分
由S¢＝ ＝0得k＝－或k＝3．
当－2＜k＜－时，S¢＜0，S单调递减；当－＜k＜0时，S¢＞0，S单调递增．… 13分
所以当k＝－时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15．
答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．…………… 16分
（方法二）
如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．
因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．
设点P(x0，y0)．
因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．
由P到直线AN的距离为，
得＝，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，
所以点P(1，3)． ……………………………… 4分
显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．
令y＝0得xB＝1－． ……………………………… 6分
由解得yC＝． ……………………………… 8分
设△ABC的面积为S，则S＝×xB×yC＝＝－1＋． …………… 10分
令8k－9＝t，则t∈(－25，－9)，从而k＝．
因此S＝－1＋＝－1＋＝－1＋．……… 13分
因为当t∈(－25，－9)时，t＋∈(－34，－30]，
当且仅当t＝－15时，此时AB＝5，34＋t＋的最大值为4．从而S有最小值为15．
答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．…………… 16分
（方法三）
如图2，过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接PA．设AB＝x，AC＝y．
·
A
M
N
P
B
C
（第19题图2）
E
F
因为P到AM，AN的距离分别为3，，
即PE＝3，PF＝．
由S△ABC＝S△ABP＋S△APC
＝×x×3＋×y× ＝(3x＋y)． ① …… 4分
因为tana＝－2，所以sina＝．
所以S△ABC＝×x×y× ． ② ……………………………………… 8分
由①②可得×x×y× ＝(3x＋y)．
即3x＋5y＝2xy． ③ ………………………………………10分
因为3x＋5y≥2，所以 2xy≥2．
解得xy≥15． ………………………………………13分
当且仅当3x＝5y取“＝”，结合③解得x＝5，y＝3．
所以S△ABC＝×x×y× 有最小值15．
答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．…………… 16分
18．（本小题满分16分）
已知圆的圆心在轴上，半径为2，直线被圆截得的弦长为，且圆心在直线的上方．
（1）求圆的方程；
（2）设，（2≤t≤4），若圆是的内切圆，求的面积S的最大值及对应的值．
【答案】（1）；（2）2或4．
解：（1）设圆心，
由已知得M到的距离为
∴=1…（2分）
又∵在的上方，∴>0，∴=5
∴，故圆的方程为…………………… 4分
（2）设斜率为，斜率为，
则直线的方程为，直线的方程为．
由于圆与相切，所以=2，∴=, ……………………6分
同理，=，
联立两条直线方程得点的横坐标为
∵|AB|=t=6，∴S=×6=……………………8分
∴-=……………………10分
∵2≤t≤4，∴﹣9≤≤﹣8
∴≤≤，∴-≤，∴………………14分
∴=24
此时=﹣8，t=2或4……………………16分
19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)＝ax3＋|x－a|，aR．
（1）若a＝－1，求函数y＝f(x) (x[0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程；
（2）若g(x)＝x4，试讨论方程f(x)＝g(x)的实数解的个数；
（3）当a＞0时，若对于任意的x1[a，a＋2]，都存在x2[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．
解：（1）当a＝－1，x[0，＋∞)时，f(x)＝－x3＋x＋1，从而f ′(x)＝－3x2＋1．
当x＝1时，f(1)＝1，f ′(1)＝－2，
所以函数y＝f(x) (x[0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝－2(x－1)，
即2x＋y－3＝0． ………………………………………………… 3分
（2）f(x)＝g(x)即为ax3＋|x－a|＝x4．
所以x4－ax3＝|x－a|，从而x3(x－a)＝|x－a|．
此方程等价于x＝a或或 ………………………………………… 6分
所以当a≥1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，－1；
当－1＜a＜1时，方程f(x)＝g(x)有三个不同的解a，－1，1；
当a≤－1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，1． ………………………… 9分
（3）当a＞0，x(a，＋∞)时，f(x)＝ax3＋x－a，f ′(x)＝3ax2＋1＞0，
所以函数f(x)在(a，＋∞)上是增函数，且f(x)＞f(a)＝a4＞0．
所以当x[a，a＋2]时，f(x)[f(a)，f(a＋2)]，[，]，
当x[a＋2，＋∞)时，f(x)[ f(a＋2)，＋∞)． ………………………………… 11分
因为对任意的x1[a，a＋2]，都存在x2[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，
所以[，][ f(a＋2)，＋∞)． ……………………………………… 13分
从而≥f(a＋2)．
所以f 2(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)3＋2≤32．
因为a＞0，显然a＝1满足，而a≥2时，均不满足．
所以满足条件的正整数a的取值的集合为{1}． ……………………………… 16分
20．（本小题满分16分）
若实数数列满足，则称数列为“数列”.
（1）若数列是数列，且，求，的值；
（2）求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
（3）若数列为数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值.
20.（1）因为是数列，且
所以，
所以,
所以，解得, ………………………….1分
所以. ……………………….3分
（2）假设数列的项都是正数，即，
所以，，与假设矛盾.
故数列的项不可能全是正数, …………………………….5分
假设数列的项都是负数，
则而,与假设矛盾, …………………………….7分
故数列的项不可能全是负数.
（3）由（2）可知数列中项既有负数也有正数，
且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数.
因此存在最小的正整数满足（）.
设，则
.
,
故有, 即数列是周期为9的数列 …………………………….9分
由上可知这9项中为负数，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数.
因为,
所以当时，;…………………… 12分
当时，这项中至多有一项为负数，而且负数项只能是,
记这项中负数项的个数为，
当时，若则，故为负数，
此时，；
若则，故为负数.
此时，，
当时，必须为负数，，, …………………………….14分
综上可知的取值集合为. …………………………….16分
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