2016年高考模拟考试试题
数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1. 已知全集，集合,则（ ）。
A. B. C. D.
2. 已知为虚数单位，若复数的共轭复数为,则( )。
A. B. C. D.
3. 下列有关命题的说法正确的是（ ）。
A.命题“若，则”的否命题为“若，则”
B.“”是“”的必要不充分条件
C.命题“，使得”的否定是“，均有”
D.命题“若，则”的逆否命题为真命题
4. 已知││=2,││=4,，以为邻边的平行四边形的面积为，则和的夹角为（ ）
A.30° B.60° C.120° D.60°或120°
5. 已知可行域是则下列目标函数中，
能够在点取得最小值是（ ）。
A. B. C. D.
6.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图的面积等于（ ）。
A. B. C. D.
7. 函数的图象是（ ）。
A B C D
8. 某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩X服从正态分布即，，则的最小值为（ ）。
A. B. C. D.
9. 函数的部分图象如图，设是图象的最高点，是图象与 轴的交点，则等于（ ）。
A. B. C. D.
10.过双曲线的左焦点
作圆的切线，切点为,直线交双曲线的右支于点,若
则双曲线的离心率为（ ）。
A. B. C. D.
11.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ）。
A. B. C. D.
12.已知是定义在实数集上的偶函数，，当时，，若关于的方程有个不等的实根，则（ ）。
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（每小题5分，共20分）.
13.设，则二项式展开式中项的系数为
（用数字作答）。
14.如图是一个算法的流程图，则输出的值是 。
15.在这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为 。
16.在数列中，，如果是与的等比中项，那么的值是 。
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.
17.（本小题满分12分）已知中，角的对边分别为满足,外接圆的半径为.
（1）求角;
（2）求面积的最大值并判断此时的形状。
18.（本小题满分12分）甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出人组成甲、乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得分，答错或不答都得分，已知甲队人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分.
（1）求随机变量的分布列及;
（2）求在甲队和乙队得分之和为的条件下，甲队比乙队得分高的概率。
19.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，,
,平面平面与相交于点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值。
20.（本小题满分12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，如图，椭圆的两个顶点分别为和，且与向量共线.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围。
21.（本小题满分12分）设函数
（1）求函数的单调区间；
（2）设，若对于任意给定的，方程在内有两个不同的实数根，求的取值范围.（其中是自然对数的底数）。
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，是的外接圆，的平分线交于点，是的延长线与的交点，的延长线与的切线交于点.
（1）求证：（2）若求值.
23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设是曲线上的点，是曲线上的点，求的最小值。
24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
已知是常数，对任意实数，不等式都成立.
（1）求的值； （2）设求证：。
2016年高考模拟考试（理数）试题参考答案
一、 B A D D B A B D D C A C
1.，。
2.。
4.
又，或。
5.作出可行域，如图阴影部分，并将点代入检验即得选项B对。
6.该几何体为一个四棱锥，又ABCD为一个直角梯形，
7.当时，，排除A；当时，无意义，排除D；当时，，排除C。
8.中，对称轴
。9.过作于，，又函数周期，即
。
10.因为圆的半径为，所以.由知，是的中点，如图，设双曲线的右焦点，则.由双曲线定义知，在中，由勾股定理得,即
解得.故选D.
11.为直径，,又
.过作于，连结,则平面.又。
12.作出在上的图象，如图，令，要方程有3个不等实根，则方程有相等实根，此时，有3个根.
，
。
二、13. 14. 15. 16.
13.，令
系数为
.
14.。
15.。16.依题意
，又
由，，
。
三、17.解（1）由正弦定理及已知等式得（2分）
又（4分）
又（6分）。
（2）解法一：（7分）
=
.（9分）
当即时，（11分）
此时为正三角形。（12分）
解法二：，由正弦定理得（7分）
由余弦定理（8分）
即，（10分）（11分）,当且仅当即为正三角形时，。（12分）
18.解（1）可能的取值为.,.........(1分)
,.（2分）
,.（3分）
,（4分）的分布列
...........（6分）
（2）设“甲队和乙队得分之和为”为事件，“甲队比乙队得分高”为事件.（7分）
则.......（9分）
,（10分）。（12分）
19.（1）【证明】依题意，侧面是菱形，是的中点.因为,所以.又平面平面，且平面,平面平面，平面。（5分）
（2）【解】以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，由已知可得.
故，
则（7分）设平面的一个法向量是，则即 令，得（9分）
显然是平面的一个法向量，（10分）
所以,即二面角的余弦值是（12分）
20.解：（1）设椭圆的标准方程为，由已知得，所以因为与共线，所以，（2分）
由，解得，所以椭圆的标准方程为.（4分）
（2）设，把直线方程代入椭圆方程消去，得，所以（6分）
即（7分）
原点总在以为直径的圆内部，即，（8分）
又
由得,（10分）依题意且满足得，故实数的取值范围是。（12分）
21.解：（1），（1分）
由得该方程的判别式，方程有两个实数根有，，
由得，单调递增区间为（3分）
由得，单调递减区间为（4分）
（2）当时，是增函数；当时，是减函数，故在上的值域为，（5分）
令由，由（1）知方程在上有一个实数根，若，则在上单调递增，不合题意；（6分）
在上有唯一的解在上单调递增，在上单调递减.，方程在内有两个不同的实数根，且，（8分）
由即，（9分）
即，代入得，令
在上单调递增，而，则，而在时，单调递增，可得.（11分）
综上。（12分）
22.（1）证明：连接是的平分线，
又与相切于，
（2分）
是的内接四边形的外角，
（5分）
（2）解：由（1）知：由已知.
,与相切于
,,解得,
,（8分）
,即。（10分）
23.解（1）由，即，
又（4分）
化简得即为曲线的直角坐标方程（5分）
（2），曲线普通方程为，它是一条直线，由在直线上，在曲线上，的最小值等于到直线的距离最小值（7分）
设，
的最小值为.（10分）
24.（1）解：设，则
的最大值为，（2分）
对任意实数都成立，即设，则
的最小值为，（4分）
对任意实数都成立，即，（5分）
（2）证明：由（1）得，
，（7分）
又
（10分）
请注意：以上各题参考答案与评分标准仅供阅卷时参考，其他答案请参考评分标准酌情给分
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