江西省横峰中学2016年五月份适应性考试试卷
高三数学（文）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷选择题（共60分）
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．复平面内表示复数z＝cos2＋i sin3的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合A＝{3，}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则集合A∪B的所有元素的和等于( )
A．1 B．5 C．6 D．1或6
3. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
A． B． C． D．
4．函数(x)=sinx(sinx++cosx)的最大值为( )
A. 2 B．1+ C． D．1
5.已知等比数列的公比为q，则’’”是.为递减数列的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.执行右边的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
7. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A.1升 B.升 C.升 D.升
8.设、是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点）且则的值为( )
A．2 B． C．3 D．
9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，若对于任意x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x+1)，则f(－2013)＋f(2014)的值为 ( )
A 2 B 1 C －1 D －2
10．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．2 B．3 C． D．6
11．已知点A（1，1），B（2，1），C（1，2），若λ
∈[－1，2]，μ∈[2，3]，则｜λ＋μ｜
的取值范围是( )
A．[2，10] B．[，] C．[1，5] D．[2，]
12.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是 ( )
A B C D
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个考生必须做答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分).
13．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于 ．
14.设向量，向量，向量，则向量 ．
15．在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为 ．
16．已知函数的部分图象如右图,其中分别是的角所对的边, ,则的面积= .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）已知等比数列的公比，前3项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）若函数在处取得最大值，求函数在区间上的值域.
18. （本小题满分12分）从某学校高三年级共800
名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）；第二组[160，165）；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.
（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率．
19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离.
20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆的四个顶点分别为,左右焦点分别为，若圆C：()上有且只有一个点满足，（1）求圆C的半径；
（2）若点为圆C上的一个动点，直线交椭圆于点,交直线于点,求的最大值；
21.（本小题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若不等式在有解，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：函数和在公共定义域内，.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。
22、（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明与选讲
如图，在，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连接交圆于点.
(1)求证：是圆的切线；
(2)求证：
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），P为C1上的动点，Q为线段OP的中点．
（Ⅰ）求点Q的轨迹C2的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴（两坐标系取相同的长度单位）的极坐标系中，N为曲线ρ=2sinθ上的动点，M为C2与x轴的交点，求|MN|的最大值．
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若方程有三个不同的解，求的取值范围．
江西省横峰中学2016年五月份适应性考试试卷
高三数学（文）答案
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
C
D
B
B
A
C
A
D
B
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分).
13 4π 14 15 16
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.解：（1）由………………2分
……………………6分
（2）
………………………9分
…………………………12分
18. 解：（1）由频率分布直方图得：
前五组频率为（0.008+0.016+0. 04+0.04+0.06）×5=0.82，
后三组频率为1﹣0.82=0.18，人数为0.18×50=9，
∴这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为800×0.18=144．（3分）（2）由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2，
设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m，
又m+2=2（7﹣m），解得m=4，所以第六组人数为4，
第七组人数为3，频率分别等于0.08，0.06.分别等于0.016，0.012．其完整的频率分布直方图如下图．…（7分）
（3）由（2）知身高在[180，185）内的人数为4，设为a、b、c、d，
身高在[190，195]内的人数为2，设为A、B，若x，y∈[180，185）时，有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6种情况；
若x，y∈[190，195] 时，有AB共1种情况；
若x，y分别在[180，185）和[190，195]内时，有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB，共8种情况．所以基本事件总数为6+1+8=15，…．（10分）
事件“|x﹣y|≤5”所包含的基本事件个数有6+1=7，
∴P（|x﹣y|≤5）=．…．（12分）
19.
（2）连结，，则∵，，是的中点， ∴，…………………9分
设点到平面的距离为，∴是边长为的正三角形，
，∴，∴
∴点到平面的距离为.…………………12分
20.
解（1）依题意得，
设点，由得： ，化简得，
∴点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 3分
又∵点在圆上并且有且只有一个点，即两圆相切，
当两圆外切时，圆心距，成立
当两圆内切时，圆心距，不成立
∴ 5分
（2）设直线为，
由得 6分
联立，消去并整理得：，
解得点的横坐标为， 7分
把直线：与直线：联立解得点横坐标
所以
(∵求最大值，显然为正才可能取最大，)
当且仅当时，取等号，
∴的最大值为； 12分
21.解：（Ⅰ）…………1分
由
…………3分
综上所述，……4分
（Ⅱ）由题意：
…………5分
设，………………6分
因为，且时，，
所以，即，故在区间上单调递减，
所以，
因此﹒ ……………………8分
（Ⅲ）方法一：与的公共定义域为，
，…………………………9分
设，，因为，在区间上单调递增，， ………………………11分
又设，，由（Ⅰ）知是的极大值点， 即，所以，
在函数和公共定义域内， ﹒ …………………12分
方法二：与的公共定义域为，
令，则 ……………………9分
设的解为，则当时，， 单调递减，
当时，， 单调递增； 所以在处取得最小值，………………11分
显然且，所以，所以，
故在函数和公共定义域内，﹒…………………12分
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。
22、证明：(1)连接OE.∵点D是BC的中点，点O是AB的中点，∴ODAC，∴∠A＝∠BOD，∠AEO＝∠EOD.∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∴∠BOD＝∠EOD.在△EOD和△BOD中，
∵OE＝OB，OD＝OD，∴△EOD≌△BOD，∴∠OED＝∠OBD＝90°，即OE⊥ED.∵E是圆O上一点，∴DE是圆O的切线．
(2)延长DO交圆O于点F.∵点D是BC的中点，∴BC＝2DB.
∵DE，DB是圆O的切线，∴DE＝DB.∴DE·BC＝DE·2DB＝2DE2.∵AC＝2OD，AB＝2OF，
∴DM·AC＋DM·AB＝DM·(AC＋AB)＝DM·(2OD＋2OF)＝2DM·DF.∵DE是圆O的切线，DF是圆O的割线，∴DE2＝DM·DF，∴DE·BC＝DM·AC＋DM·AB.
23、解：（Ⅰ）设Q（x，y），则∵Q为线段OP的中点，∴点P（2x，2y），
又P为C1上的动点，曲线C1的参数方程为
∴（t为参数）
∴（t为参数）
∴点Q的轨迹C2的方程为（t为参数）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得点M（1，0），
∵曲线ρ=2sinθ ∴ρ2=2ρsinθ
∴x2+y2=2y ∴x2+（y﹣1）2=1
即曲线ρ=2sinθ的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1
∴|MN|的最大值为．
24、（Ⅰ）时，，∴当时，不合题意；
当时，，解得；
当时,符合题意. 3分
综上,的解集为 5分
（Ⅱ）设，的图象和的图象如右图： 7分
易知的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，
从而. 10分
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