保密★启用并使用完毕前
高三阶段性诊断考试试题
理 科 数 学
本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知不等式的解集为，函数的定义域为，则图中阴影部分表示的集合为
A． B．
C． D．
2．已知，是虚数单位，命题：在复平面内，复数对应的点位
于第二象限；命题：复数的模等于.若是真命题，则实数等于
A． B． C．或 D．或1
3．已知函数，记 ，
则 的大小关系为
A． B． C． D．
4．已知为锐角，且，则
A． B． C． D．
5．如图，已知三棱锥的底面是等腰直
角三角形，且，侧面底面
，.则这个三棱锥的三视
图中标注的尺寸分别是
A． B． C． D．
6．已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量（单位：mm）对工期延误天数的影响及相应的概率如下表所示：
降水量
工期延误天数
概率
在降水量至少是的条件下，工期延误不超过天的概率为
A． B． C． D．
7． 设实数满足约束条件，若对于任意，不等式
恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
8．如图，正方形中，是的中点，若，则
A． B．
C． D．
9．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
10．函数的定义域为，其导函数为．对任意的，总有；当时，．若，
则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．右图是一个算法流程图，则输出的的值 ．
12．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于点对称，则的最小值是 ．
13．二项式展开式中，前三项系数依次组成等差数列，则展开式中的常数项等于_____．
14．已知球的直径，在球面上，，，则棱锥的体积为 ．
15．已知圆的方程，是椭圆上一点，过作圆的
两条切线，切点为，则的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．（本题满分12分）
已知,
函数的最大值为．
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）在中，内角的对边分别为，，
若恒成立，求实数的取值范围．
17．（本题满分12分）
如图，四边形是直角梯形，，
//，，，
,，直线与直线所成的角为.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．
18．（本题满分12分）
某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从、两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响．
（Ⅰ）求丙、丁未签约的概率；
（Ⅱ）记签约人数为，求的分布列和数学期望．
19．（本题满分12分）
已知椭圆:的长轴长为,离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知为椭圆的左右两个顶点，为椭圆上在第一象限内的一点，为过点且垂直轴的直线，点为直线与直线的交点，点为以为直径的圆与直线的另一个交点，求证：，，三点共线.
20．（本题满分13分）已知二次函数．数列的前项和为，点在二次函数的图象上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，
若对恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）在数列中是否存在这样一些项：，这些项都能够构成以
为首项，为公比的等比数列？若存在，求出值并写出关于的表达式；若不存在，说明理由．
21．（本题满分14分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若直线是函数的切线，求的最大值；
（Ⅲ）若方程存在两个实数根，且．
①求证：；
②问：函数图象上在点处的切线是否能平行轴？若存在，求出该切线；若不存在说明理由．
淄博市2015-2016学年度高三三模考试（理科）
数学试题参考答案及评分说明 2016.05
一、选择题：
BACCB DDBCD
二、填空题：
11．；12．；13．7；14．；15．．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．解：（Ⅰ）函数
……………………2分
因为的最大值为，所以解得 ………………………3分
则 ………………………4分
由，
可得：，，
所以函数的单调减区间为 ……………………………6分
（Ⅱ）（法一）由 ．
可得即．
解得即 ………………………………………………9分
因为所以， ……10分
因为恒成立，则恒成立
即． ………………………………………12分
（法二）由，可得
即，解得即 …………9分
因为所以， ………10分
因为恒成立，则恒成立
即． ………………………………………12分
17．解：（Ⅰ）因为；
所以． ………………………………………2分
又因为平面,所以…………………4分
（Ⅱ）在平面内，过作，
建立空间直角坐标系（如图）…………5分
由题意有,，
设，则，
，
． …………………………………………7分
由直线与直线所成的解为得
解得． ………………………………………………………………………9分
所以,
设平面的一个法向量为，
则，即 ．
取，得． ………………………………………10分
平面的法向量取为 …………………………………11分
设与所成的角为，则
因为二面角的平面角为锐角，
故二面角的平面角的余弦值为． ……………………12分
18．解:（Ⅰ）分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为．由题意知
相互独立，且，．记事件“丙、丁未签约为”，
由事件的独立性和互斥性得：
方法一： …………………………………………3分
……………………………………4分
方法二： …………………………3分
………………………4分
（Ⅱ）的所有可能取值为． ……………………………………5分
；
；
；
；
.
所以，的分布列是：
………………………………11分
的数学期望.…………12分
19．解：（Ⅰ）由题意知：，，
又，解得：
所以椭圆的方程为： ………………………………………4分
（Ⅱ）设直线AT方程为：，设点坐标为
………5分
由韦达定理，又点坐标为
得 ……………………………………7分
又点坐标为，所以 ………………8分
由圆的性质得：
所以，要证明只要证明 ………9分
又点横坐标为，所以点坐标为，
…………11分
即，又， 所以，，三点共线. …………12分
20．解：（Ⅰ）由题意可知，
当 时， ………………２分
当 时，适合上式
所以数列的通项公式为． …………………3分
（Ⅱ）因为，所以
………4分
由（Ⅰ）可知，数列是以为首项，公差为的等差数列．所以
① 当时，
……………………6分
②当时，
所以， …………………………8分
要使对恒成立，只要使（为正偶数）恒成立，即使对为正偶数恒成立，
故实数的取值范围是．…………………………………………10分
（Ⅲ）由知数列中每一项都不可能是偶数．
①如存在以为首项，公比为偶数的数列，此时中每一项除第一项外都是偶数，
故不存在以为首项，公比为偶数的数列 ……………………11分
②当时，显然不存在这样的数列；当为奇数时，若存在以为首项，公比为的数列，则，，
即存在满足条件的数列，且公比的奇数，
．……………………………………………………13分
21．解析：（Ⅰ）函数的导函数为：；…………………………1分
当时，得；
当时，得，故函数在区间上单调递增；
当时，得，故函数在区间上单调递减；
所以函数在处取得极大值．……………………………………3分
（Ⅱ）设函数的切点为，．
显然该点处的切线为：，即为；…4分
可得：，则；
设函数；………………………………………………5分
其导函数为，显然函数当时，得或，故函数在区间和上单调递增；当时，得，故函数在区间上单调递减；
函数的的极大值为，的极小值为．
……………………………………………………………………7分
显然当时，恒成立；
而当时， ，
其中，，得；…………8分
综上所述，函数的的极大值为即为的最大值．…………9分
（Ⅲ）①由于函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
所以，……………………………………………………………………10分
显然当时，；当和时，；
得，．………………11分
②由于，则，
设函数，；…………………12分
其导函数为；
故函数在区间上单调递减，且，；
所以，即；
同时，从而；
由于，，函数在区间上单调递减，
得，即． …………………………………………………13分
所以，，
函数图象上在点处的切线斜率恒小于，在点处不存在切线平行轴．……………………………………………………………………14分
微信/支付宝扫码支付