东北师大附中第六次模拟考试
数学（理）试卷
命题人：高三数学理科备课组
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）已知复数为纯虚数，那么实数
（A） （B） （C） （D）
（3）已知命题：“”，命题：“直线与直线互相垂直”，则命题是命题的
（A） 充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C） 充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约
（A）134石 （B） 169石 （C） 192石 （D）338石
（5）执行右边的程序框图，若输出，则输入的值为
（A）2
（B）3
（C）4
（D）5
（6）若展开式中含有常数项，则的最小值是
（A） （B） （C） （D）
2
1
正视图
侧视图
俯视图
（7）一个多面体的三视图如右图所示，正视图为等腰直角三角形，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该多面体的表面积为
（A）2 （B）
（C） （D）
（8）已知是与的等比中项，若则有
(A)最小值10 (B)最小值 (C)最大值10 (D)最大值
（9）在中， ，，为线段的三等分点，则＝
（A） （B） （C） （D）
（10）已知点是双曲线的一个焦点，过点且斜率为的直线与圆 相切，则双曲线的离心率为
(A) (B) (C) 2 (D) 3
（11）如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的有
三棱锥的体积为定值
的最大值为90° 的最小值为2
(A) (B)
(C) (D)
（12）已知曲线:上一点，曲线: 上一点，当时，对于任意，都有恒成立，则
的最小值为
(A)1 (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
（13）已知实数满足约束条件，则的最大值为 .
（14）已知抛物线，过焦点，且倾斜角为60°的直线与抛物线在第一象限交于点， 若，则抛物线方程为 .
（15）将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，则由函数与的图像所围成的封闭图形的面积为 .
（16）已知各项均为正数的数列满足，若，则 .
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知的内角的对边分别为，
且满足
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若的面积为，且求的值.
(18 )(本小题满分12分)
2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如下表：
生二胎
不生二胎
合计
70后
30
15
45
80后
45
10
55
合计
75
25
100
（Ⅰ）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据,且视频率为概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．
参考公式：，其中.
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA＝AB＝BC＝CD＝2，PD＝2，PA⊥PD，Q为PD的中点.
P
A
Q
D
B
C
（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PD与平面AQC所成角的正弦值.
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，为椭圆的一个顶点，直线交椭圆于（异于点）两点，．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）求△面积的最大值．
（21）（本小题满分12分）
已知函数，其中为非零实数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个极值点，且，求证：.（参考数据：）
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，自圆外一点引圆的切线，切点为，为的中点，过点引圆的割线交圆于，两点，且，，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）记△和的面积分别为
和，求．
（23）（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），曲线．
（Ⅰ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求的极坐标方程；
（Ⅱ）射线与的异于极点的交点为，与的交点为，求．
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，使得，求实数的取值范围．
东北师大附中第六次模拟考试数学（理）答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
A
C
B
B
D
B
C
C
A
C
二、填空题
13. 6 ；14. ；15. 2 ；16. ．
三、解答题
17. 解析：（Ⅰ）∵，
∴，
∴，
∴，由正弦定理得，∴.
（Ⅱ）∵∴，，
所以，，
当时，
∴，∴.
当时，
∴，∴.
故或
18. 解：（Ⅰ）由已知得70后“生二胎”的概率为，并且～，………1分
所以，其分布列如下
0
1
2
3
所以，．
（Ⅱ）
，
所以有90% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关” ．
19. （Ⅰ）证明 如图所示，取PA的中点N，连接QN，BN.
P
A
Q
D
B
C
N
在△PAD中，PN＝NA，PQ＝QD，
所以QN∥AD，且QN＝AD.
在△APD中，PA＝2，PD＝2，PA⊥PD，
所以AD＝＝4，而BC＝2，所以BC＝AD.
又BC∥AD，所以QN∥BC，且QN＝BC，
故四边形BCQN为平行四边形，所以BN∥CQ.
P
A
Q
D
B
C
x
y
z
M
O
又BN⊂平面PAB，且CQ平面PAB, 所以CQ∥平面PAB.
（Ⅱ）如图，取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO.
由(1)知PA＝AM＝PM＝2,
所以△APM为等边三角形，
所以PO⊥AM. 同理BO⊥AM.
因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥BO.
如图，以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，D(0,3,0)，A(0，－1,0)，B(，0,0)，P(0,0，)，C(，2,0)，
则＝(，3,0).
因为Q为DP的中点，故Q，所以＝.
设平面AQC的法向量为m＝(x，y，z)，
则可得
令y＝－，则x＝3，z＝5. 故平面AQC的一个法向量为m＝(3，－，5).
设直线PD与平面AQC所成角为θ.
则sinθ= |cos〈，m〉|＝＝.
从而可知直线PD与平面AQC所成角正弦值为.
20. 解：（Ⅰ）依题意，解得，所以椭圆方程为．
（Ⅱ）【方法1】设代入得，
由，得，
，
，
，
整理得，或（舍）．
直线过定点，
此时．
△面积的最大值为．
解法2：
设代入得，
由，得，
，
，
，
整理得，或（舍）．
点到直线的距离为，
设，则
，
当，即时，△面积的最大值为．
解法3：
设直线方程为与联立，得，
，， 同理，
当，即，时，△面积的最大值为．
21. 解：（Ⅰ）.
当时，即时，，在上单调递增；
当时，由得，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，由得，，在上单调递减，在上单调递增.
（Ⅱ）解法1：由（1）知，，且，所以.由得，.
.
构造函数，
，
在上单调递增，
又，所以在时恒成立，命题得证.
解法2：由（1）知，，且，所以.
.
由得，.
构造函数.
，
设，
则，因为，所以，，故在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，
所以，故.
22. 解：（Ⅰ）∵是圆的切线，是圆的割线，∴，
又∵为的中点，∴，
∴，且，
∴， ∴，
又∵，
且，，∴．
（Ⅱ）是圆的切线，∴，∴，∴，
在中，，， ，
由正弦定理得：，∵，∴，
∴．
23. 解：（Ⅰ）曲线为参数）可化为普通方程:，
由可得曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
（Ⅱ）射线与曲线的交点的极径为，
射线与曲线的交点的极径满足，解得，所以．
24. 解：（Ⅰ）∵，∴,
∵的解集为，∴ ，∴．
（Ⅱ）∵,
∵，使得，即成立，
∴，即，解得，或,
∴实数的取值范围是．
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