2016高考数学（理科）考前冲刺预测题
一、选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分在每小题给山的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．给出如下四个命题：
①若“且”为假命题，则、均为假命题；
②命题“若，则”的否命题为“若，则”；
③“”的否定是“”；
④在△中，“”是“”的充要条件.其中不正确的命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3. 点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“正点”，那么下列结论中正确的是 （ ）
A．直线上的所有点都是“正点”
B．直线上仅有有限个点是“正点”
C．直线上的所有点都不是“正点”
D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“正点”
4. 已知直线⊥平面α，直线平面β，给出下列命题：
①α∥βl⊥m ②α⊥βl∥m ③l∥m α⊥β
④l⊥mα∥β
其中正确命题的序号是 （ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ②④
5．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）
A.2010
B.-1
C.
D.2
6. 将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位，得到函数y=g(x)的图象．若y=g(x)在[]上为增函数，则的最大值 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7. 如图，在△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BE交于F，
设为 （ ）
A． B．
C． D．
8．符号表示不超过的最大整数,例如,,定义函数,给出下列四个命题(1)函数的定义域为,值域为;(2)方程有无数个解;(3)函数是周期函数;(4)函数是增函数.其中正确命题的序号有( )
A.(2)(3) B.(1)(4) C.(3)(4) D.(2)(4) .
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．
9. 已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝ .
10． 当，不等式成立，则实数的取值范围是_______________.
11. 设满足，若目标函数的最大值为14，则______.
12．从四棱锥S—ABCD的八条棱中任取两条，其中抽到两条棱成异面直线的概率为 .
13.下列给出的四个命题中：
①已知数列{an}，那么对任意的n∈N.，点Pn(n，an)都在直线y=2x+l上是{an}为等差数列的充分不必要条件；
②“m=-2”是“直线(m+2)x+my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的必要不充分条件；
③设圆x2+y2+Dx+Ey+f=0与坐标轴有4个交点，分别为A(xl，0)，B(x2，0)，C(0，y1)．D(0，)，则xl x2-y1y2=0；
④在实数数列{an}中，已知al=0，| a2 |=| a1-l|，|a3 |=| a2-l|，…，| an |=| an-1-1|，则al+a2+a3+a4的最大值为2．
其中为真命题的是 (写出所有真命题的代号).
选做题
14. 在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为____ ．
15. 如图所示，已知PC、DA为⊙O的切线，C、A分别为切点，AB为⊙O的直径，若DA＝2，＝，则AB＝________.
三、解答题（共6个小题，共80分）
16、（本小题满分12分）
设函数f(x)=cos2wx＋sinwxcoswx＋a
(其中＞0,aR),
且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
（1）求ω的值；（2）如果f(x)在区间[―，]上的最小值为，求a的值;
（3）证明：直线5x―2y＋c=0与函数y=f(x)的图象不相切.
17．（本小题满分12分）.
某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障时间T（单位：年）有关，若T1，则销售利润为0元；若13,则销售利润为200元.设每台该种电器的无故障使用时间T1，13这三种情况发生的概率分别为，又知为方程25x-15x+a=0的两根,且.
(Ⅰ)求的值;
（Ⅱ）记表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求的分布列及数学期望.
18．（本小题满分14分）
如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，．
O
Q
D
B
C
A
G
P
．
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
19．(本小题满分14分)
若椭圆:和椭圆:满足,则称这两个椭圆相似，是相似比.
(Ⅰ)求过(且与椭圆相似的椭圆的方程；
(Ⅱ)设过原点的一条射线分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于A、Ｂ两点（点Ａ在线段OB上）.
①若P是线段AB上的一点，若|OA|、｜ＯP｜、｜ＯB｜成等比数列，求Ｐ点的轨迹方程; ②求的最大值和最小值.
20．(本小题满分14分)
设函数.
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）当时，求的单调区间；.
（Ⅲ）当时，对任意的正整数，在区间上总有个数使得
成立，试问：正整数是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.
21. (本小题满分14分)
已知数列中，，对于任意的，有
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足：……，
求数列的通项公式；
（3）设，是否存在实数，当时，恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分在每小题给山的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1．A
解析：由题，所以在复平面上对应的点位于第一象限。
2．C.
解析：②④正确.
3. A
解析：本题采作数形结合法易于求解，如图，
设，
则，.
∵，
∴
消去n,整理得关于x的方程 （1）
∵恒成立，
∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.
【答案】A
4. C
解析：α∥β直线⊥平面β，由于直线平面β ∴ l⊥m 故①正确；由l∥m，直线⊥平面α可推出直线m⊥平面α，而直线平面β ∴α⊥β故③正确。
7.D
解析：由题可知执行如图的程序框图可知所以当时，当时输出，故选D。
6. B
解析：将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位，得到函数
y=g(x)=2。 ∵y=g(x)在[]上为增函数
∴ ∴。.
7. A
解析：，
同理向量还可以表示为，对应相等可得，所以，故选A。
8．A
解析：如值域中没有1，故该函数值域应该为，故(1)错；如，不具有增减性，故(4)错。
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。
9. 解析 ∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23＞4
∴＝f(3＋log23)
＝
10．答案 k≤1 .
解析 作出与的图象，要使不等式成立，由图可知须k≤1
11. 2
解析：由所确定的可行域，确定使目标函数达到最大值14的最优解，代入，可得2.
12. 解析：在八条棱中任取其中的两条，其中是异面直线的为，所以抽
到两条棱成异面直线的概率为。
13.①③④
14.
15. 4
三、 解答题（共6个小题，共74分）
16、解：（1） f(x)=×＋sin2wx＋a=sin2wx＋cos2wx＋＋a
=sin(2wx＋)＋＋a .
由题意知，2w×＋=，∴ w=1
（2）由（1）知，f(x)=sin(2x＋)＋＋a ∵ ―≤x≤ ∴ 0≤2x＋≤
∴ ―≤sin(2x＋)≤1 ∴ f(x)的最小值=―＋＋a= ∴ a=
（3）∵ f¢ (x)=2cos(2x＋) ∴ |f¢ (x)|≤2
∴ 曲线y=f(x)的切线斜率的取值范围是[―2,2],
而直线的切线斜率=>2, ∴直线5x―2y＋c=0与函数y=f(x)的图象不相切.
17．解：(Ⅰ)由已知得 解得:=,=,=.
（Ⅱ）的可能取值为0，100，200，300，400.
P(=0)= =
P(=100)= 2=
P(=200)= 2+=
P(=300)= 2=
P(=400)= =
随机变量的分布列为
0
100
200
300
400
p
所求的数学期望为E=0+100+200+300+400=240(元)
所以随机变量的数学期望为240元. .
18．解: （1）(解法一)：由题意可知 ，解得 ，
在中，， ∴ ，
又 ∵是的中点，∴ . ①
∵ 为圆的直径，∴ .
由已知知 ，∴ ，∴ .
y
z
x
O
Q
D
B
C
A
G
P
．
∴ . ②
∴ 由①②可知：，
∴ .
（2） 由（1）知：， ∴，，
∴是二面角的平面角 .
, , .
∴ . .
(解法二)：建立如图所示的直角坐标系，
由题意可知.解得.
则，，， ，
∵是的中点，∴ 可求得. .
（1），，∴ .
∵ ，∴ .
（2）由（1）知,， ，
， .
∵， ∴是平面的法向量.
设是平面的法向量，
由，，解得 . . .
所以二面角的平面角的余弦值.
19．解:(Ⅰ)设与相似的椭圆的方程.
则有解得,所求方程是.
(Ⅱ) ① 当射线的斜率不存在时,
设点P坐标P(0,,则,.即P(0,).
当射线的斜率存在时，设其方程,P(
由,则 得
同理 .
又点P在上，则，且由,
即所求方程是.
又(0,)适合方程,故所求椭圆的方程是.
②由①可知,当的斜率不存在时，,
当的斜率存在时, , .
∴
综上的最大值是8,最小值是4.
20．解:(I)函数的定义域为.
当时，，∴.
由得.
，随变化如下表:
减
0
增
-
极小值
+
由上表可知，，没有极大值.
（II）由题意，.
令得，. .
若，由得；由得.
若，
①当时，，或，；，.
②当时，.
③当时，，或，；，.
综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为；
当时，函数的单调减区间是,
当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为.
(Ⅲ) 当时，，. .
∵，∴.
∴，.
由题意，恒成立.
令，且在上单调递增，
，因此，而是正整数，故，
所以时，存在，时，对所有满足题意.
∴.
21 解：（1）取，则 ∴（）
∴是公差为，首项为的等差数列 ∴ …………4分
（2）∵ ①
∴ ②
①-②得：∴ …………6分
当时， ∴，满足上式 ∴ …………8分
（3） 假设存在，使
．
． ．
当为正偶函数时，恒成立， .
∴．∴ …………11分
当为正奇数时，恒成立．∴
∴．∴．
综上可知，存在实数．使时，恒成立． …………14分
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