2016年永安市高三毕业班质量检查
数学（理科）试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数（i为虚数单位）的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3. 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
4．已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．等比数列中，，，则数列的前项和等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC， AC⊥BC ，AC＝ ，BC＝1 , PA＝4，则该三棱锥外接球的表面积为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
8．过双曲线的左焦点F作圆的切线，设切点为M，延长FM交双曲线于点N，若点M为线段FN的中点，则双曲线C1的离心率为（ ）
(A) +1 (B) (C) (D)
9.设函数若，则函数的零点个数（ ）
A．2 B．3 C．4 D． 5
10．已知函数关于直线对称 , 且,则的最小值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
11．已知点A(0，1)，直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相交于B，C两点，△ABC与△OBC的面积分别为S1，S2.若S1≥2S2，且∠BAC＝30°，则m的取值范围是（ ）
（A）． [－1，] （B）[－1，－ ] （C）[ ， 1] （D）[1，2 ]
12设曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选做题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选做题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
13.设向量是夹角为的单位向量，若，则 ▲ ．
14. 设的展开式中的系数为，所有项的系数和，则
▲ ．
15. 已知实数x，y满足，若目标函数的最大值与最小值互为相反数，则实数 m = ▲ ．
16.在公差不为0的等差数列中，，记的最小值为.若数列满足则 ▲
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．
17.（本小题满分分）如图,在△中,,,点在边上,, ,为垂足.
(Ⅰ)若△的面积为,求的长; (Ⅱ)若,求角的大小.
18.（本小题满分分）
某校为选拔参加“某谜语大会”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成频率分布直方图(如下图所示)．
（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；
（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等，你作为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪一队？
19. （本小题满分分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1．
（1）证明： .
（2）若OC=OA，求直线与平面ABC所成角的正弦值．
20．（本小题满分分）
已知椭圆C: 的右焦点与抛物线M: 的焦点重合，且点在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）过直线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆交于不同的两点、，点与点关于轴对称，试判断:三点是否共线?并说明理由.
（21）（本小题满分分）
已知函数．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
四、请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.（本小题满分10分）
C
D
A
B
E
F
如图，在三角形ABC中， =90°，CD⊥AB于D，以C D为直径的圆分别交AC、BC于E、F。
（1）求证：；（2）求证：.
23.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为（为参数），已知以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为（）（注：本题限定：，）
（1）把椭圆的参数方程化为极坐标方程；
（2）设射线与椭圆相交于点，然后再把射线逆时针90°，得到射线与椭圆相交于点，试确定是否为定值，若为定值,求出此定值，若不为定值请说明理由．
24. (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|
（Ⅰ）解不等式f（x）≥﹣2；
（Ⅱ）对任意，都有成立，求实数的取值范围．
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数学（理科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
B
C
B
A
C
C
D
A
D
二、填空
13、 14、 240
15、 -1 16、
三、解答题
（17）【解析】(Ⅰ)由已知得,
又,得 …………3分
在△中,由余弦定理得
,
所以的长为 …………………………….6分
(Ⅱ)因为 …….8分
在△中,由正弦定理得,又,
得.
解得,又,所以为所求. ………….12分
18. 解法一：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为，由频率分布直方图得，
，
解得：．……………………………2分
∴测试成绩中位数为．
进入第二阶段比赛的学生人数为人．……………4分
（Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为、，
则，……………………………6分
∴．……………………………7分
∴最后抢答阶段甲队得分的期望为，………………………8分
∵， ，
，，
∴， …………………………………………11分
∴最后抢答阶段乙队得分的期望为．
∵，
∴支持票投给甲队．．……………………………12分
解法二：（Ⅰ）同解法一． ……………………………4分
（Ⅱ）设最后抢答阶段甲队获得的分数为，
则所有可能的取值为，，，．
， ，
，．
∴．……………………………8分
设最后抢答阶段乙队获得的分数为，则所有可能的取值为，，，．
∵，，
，，
∴，
∵，
∴支持票投给甲队．…………………………………………12分
19. D为AA1中点，AB=2，AA1=2，AD=，
所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B==，
在直角三角形ABD中，tan∠ABD==，…………2分
所以∠AB1B=∠ABD，
又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，
所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，
即BD⊥AB1， …………4分
又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1侧面ABB1A1，
所以CO⊥AB1
所以，AB1⊥面BCD，
因为
所以．…………5分
（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则，，,…………6分
又因为=2，所以…………7分
所以= ，=
=，…………8分
设平面ABC的法向量为=（x，y，z），
则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，……10分
设直线与平面ABC所成角为α，则sinα==，
所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为．…………12分
20.解：(Ⅰ)由题意知,抛物线的焦点坐标为，所以椭圆的左焦点坐标为,又点在椭圆C上.
即，所以,
椭圆的方程为……………4分
（Ⅱ）⑵设，，
……………6分
…8分
………10分
……………11分
三点共线……………12分
（21）【解析】（Ⅰ）（ⅰ）构造函数，
得，
当时，；当时，；
所以，由，
所以（当且仅当时取得等号）；……………………5分
（Ⅱ）法一：
……………………………6分
（1）当时，，
当时，；当时，；，不合题意；
…………………………………………7分
（2）当时，由得，，
所以情况同（1），不合题意；…………………8分
（3）当时，由得，，
①若时，则，
当时，；当时，；，
满足题意；……………9分
②若时，则，
当时，，此时，不合题意；………10分
③若时，则，
当时，；当时，；当时，；
则函数极大值；
函数极小值；注意到，不合题意；…11分
综上，所求实数.………………………………………………12分
法二：(分离变量法)
若对恒成立等价于对恒成立…………7分
记，问题等价于…………8分
由（Ⅰ）知（当且仅当时取得等号），
所以（当且仅当时取得等号），…………11分
故，所以为所求. …………12分
法三：(充要条件法)
若对恒成立，则必有，可得；………7分
下证：当时，对恒成立即可
由，令得，……9分
当时，
当时，；当时，；，满足题意；
…………………………………………………………………………11分
所以为对恒成立的充要条件，故……12分
四、请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22. 证明：（1）∵CD为圆的直径，且E、F与C、D两点重合，
∴DF⊥BC，DE⊥AC，∵=90°，∴四边形CEDF为矩形，
∴，且DF//AC,DE//BC. …………1分
∵CD⊥AB于D， CD为圆的直径，∴三角形BCD和三角形ACD分别是以和为直角的直角三角形。…………2分
∵DF⊥BC，DE⊥AC，∴，(直角三角形射影定理…3分
∵DF//AC,DE//BC，∴（平行线分线段成比例定理）……4分
∴即 ∴. ……5分
（2）由（1）已证CD⊥AB于D∵在三角形ABC中， =90°
∴ . （1）……7分
又∵（切割线定理）∴（2）9分
由（1）与（2）可得 ∴ ……10分
23. 解：（1）∵椭圆的参数方程为（为参数）
∴椭圆的普通方程为，…………2分
将一点化为极坐标 的关系式
代入 可得：
化简得：…………5分
（2）由（1）得椭圆的极坐标方程可化为…………6分
由已知可得：在极坐标下，可设，…7分
分别代入中
有，，…
9分
则即．故为定值.…10分
24. 解：（Ⅰ）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，
当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈∅；
当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x≤1；
当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；
综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x≤6} ……………………………5分
（Ⅱ），
函数f（x）的图象如图所示：
令y=x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2；
∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；……………………………8分
当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，
∴a≥2+，即a≥4时成立，
综上a≤﹣2或a≥4．……………………………10分
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