广东省中山市华侨中学2016届高三5月高考模拟试卷
理科数学
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则=（ ）
A．{x|﹣2≤x≤2} B．{x|1＜x≤2} C． {x|﹣2≤x＜1} D． {x|﹣2≤x≤3}
2.设为虚数单位，则复数（ ）
A． B． C． D．
3．若，则向量与的夹角为（ ）
A． B. C. D.
4．某滨海城市计划沿一条滨海大道修建7个海边主题公园，由于资金的原因，打算减少2个海边主题公园，两端海边主题公园不在调整计划之列，相邻的两个海边主题公园不能在同时调整，则调整方案的种数是
A．12 B．8 C．6 D．4
5．如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知点，点坐标的满足，则（是坐标原点）的最值的最优解是( )
A．最小值有无数个最优解，最大值只有一个最优解 B．最大值、最小值都有无数个最
优解
C．最大值有无数个最优解，最小值只有一个最优解 D．最大值、最小值都只有一个最优解
m除以n的余数
否
开始
输出m
结束
是
输入m，n
7.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的某一种算法.执行该程序框图，输入分别为，则输出的结果是（ ）
A．14 B．18 C．9 D．7
8．在正项数列中，且，对于任意的，，的等差中项都是，则数列的前项的和为( )
A． B． C． D．
9．某几何图形的三视图和尺寸的标示如图所示，该几何图形的体积或面积分别是( )
A．， B．，
C．， D．，
10．在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（ ）
A． B． C． D．
11．设函数则满足的 a取值范围是( )
A． B． C． D．
12．过点作抛物线的两切线，切点分别为，，则直线的方程为( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.
13.已知O为坐标原点，A，B，C是圆O上的三点，若=（+），，过点的直线 与圆O相切，则直线的方程是 。
14．已知函数．在区间上的最小值是 。
15．的二项式展开式中常数项的二项式系数为 （用符号或数字作答）．
16.由函数和的图像与直线所围成的封闭图形的面积是 ．
三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)数列的前项和是，且.
⑴求数列的通项公式；
⑵记，数列的前项和为，若不等式，对任意的正整数恒成立，求的取值范围。
18.（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点是棱 的中点，点是的中点.
（Ⅰ）证明：∥平面；
（Ⅱ）若为正方形，探究在什么条件下，二面角大小为？
19．（本小题满分12分）现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择. 为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.
（Ⅰ）求这4人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；
（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记，求随
机变量的分布列与数学期望.
20.（本小题满分12分）直角坐标系平面内，已知动点到点与的距离之比为．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）是否存在经过点的直线，它与曲线相交于，两个不同点，且满足
（为坐标原点）关系的点也在曲线上，如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．
21．(本小题满分l2分)已知函数，∈R．
(I)讨论函数的单调性；
(Ⅱ)当时，≤恒成立，求的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则 所做的第一个题目计分．
22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图,已知、、分别是△三边的高，是垂心，的延长线交△的外接圆于点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：．
23．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的参数方程为（为参数，且），曲线的极坐标方程为（是常数，且）．
（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线被曲线截的弦是以为中点，求的值．
24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）若，求不等式的解集；
（Ⅱ）若方程有三个不同的解，求的取值范围．
高三5月高考模拟试卷理科数学答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
D
C
C
A
D
D
A
B
B
A
13
14
15
16
或
17.解：
(1)由题设得： ① ②
①-②可得，则
当时 ，则，则是以为首项，为公比的等比数列，因此.
(2)，所以。
所以。
所以
18．解析：（Ⅰ）连接，设，连结，
∵ 四边形为矩形，
∴ 是的中点，
∵ 点是棱的中点，
∴ ∥，
又 平面，平面，
∴ ∥平面。
另解析：
易知，，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设，，则，，，，。
设，连结，则，。
（Ⅰ）因为，，
所以，所以∥，即∥。
平面，平面，从而得∥平面。
（Ⅱ）此时，，，，，，，，，
因为轴平面，所以设平面的一个法向量为，而，所以，得，所以。
因为轴平面，所以设平面的一个法向量为，而
，所以，得，
所以∥。
，得。
即当等于正方形的边长时，二面角的大小为．
19．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为，去参加乙项目联欢的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲项目联欢”为事件，，则.
（Ⅰ）这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率--------4分
（Ⅱ）设“这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件，，故.
∴这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为.-------8分
(III)的所有可能取值为0,2,4.
，
所以的分布列是
0
2
4
.-----------------------------------------------------12
20．解析：（Ⅰ）设，则，，依题意，
，化简整理，得，
所以曲线的方程为．
（Ⅱ）假设直线存在，设，，
（1）若直线的斜率存在,设直线的方程为：。
联立消去得，，
由韦达定理得， ，，
。
因为点，在圆上，因此，得，。
由得，，。
由于点也在圆上，则，
整理得，，
即，所以，
从而得，，即，因此，直线的方程为，即；
（2）若直线的斜率不存在,则A(,),B(,)，
，故此时点不在曲线上，
综上所知：,直线方程为．
21.解:(Ⅰ)的定义域为，
若则在上单调递增；……………2分
若则由得，当时，当
时，，在上单调递增，在单调递减.
所以当时，在上单调递增；当时， 在上单调递增，在单调递减.……………4分
(Ⅱ),令,
,令, ,………………6分
,，
,
.……………8分
(2),
以下论证.……………10分
,
,
,
综上所述，的取值范围是………………12分
22．解析：（Ⅰ）∵ 、分别是△三边的高，
∴ ，，
∴ △和△都是直角三角形 ，
∴ ，，
∴ ，
∵ 与是对顶角，
∴ ，
∴ ．
（Ⅱ）连结，∵与同弧圆周角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在△和△中，
∵ ，即，
∴ △∽△，
∴ ，
∴ ，
又 ∵，
∴ ．
23．解析：（Ⅰ）由，得，则，
即曲线的普通方程为；
由互换公式，，，得，
即曲线的直角坐标方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线是圆，曲线是直线，且以为弦的中点，
则，则．
24．解析：（Ⅰ）时，，
∴当时，不合题意；
当时，，解得；
当时，符合题意．
综上，的解集为．
（Ⅱ）设，的图象和的图象如图：
易知的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，
从而．
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